"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Многочлен — это сумма одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. С ним удобно выполнять преобразования: раскрывать скобки, складывать и вычитать выражения, решать уравнения. Главное — распознавать подобные слагаемые, приводить многочлен к стандартному виду и находить его степень. Для этого нужно следить за знаками и буквенными частями одночленов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов. Одночлены могут быть соединены знаками сложения и вычитания, например 4x² − 3x + 7. Такое выражение удобно рассматривать как набор отдельных слагаемых.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. Их можно складывать и вычитать, выполняя это действие только с коэффициентами: 5a² − 2a² = 3a². Это помогает заменить несколько слагаемых одним и упростить запись.
Многочлен стандартного вида — многочлен, в котором подобные слагаемые уже приведены, а каждый одночлен записан в стандартном виде. Например, 2x² + 5x − 1 имеет стандартный вид, а выражение 3x + x² − 2x ещё нужно преобразовать. Такая запись облегчает дальнейшие действия.
Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней входящих в него одночленов с ненулевыми коэффициентами. В многочлене 6y⁴ − 2y² + y − 8 наибольшая степень равна 4. Нулевые слагаемые при определении степени не учитываются.
Если несколько одночленов соединить знаками плюс или минус, получится многочлен. Например, 2a³, −5a² и 4a можно записать как 2a³ − 5a² + 4a. Вычитание здесь можно понимать как прибавление слагаемого с противоположным коэффициентом: 7x² − 3x² = 7x² + (−3x²). Поэтому отрицательные коэффициенты не нарушают определение многочлена.
Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки, если они есть, а затем приводят подобные слагаемые. При раскрытии скобок знак перед скобками влияет на каждый стоящий в ней член: −(x² − 3x + 1) = −x² + 3x − 1. После этого одинаковые буквенные части собирают вместе и складывают их коэффициенты. Так запись становится короче, но значение выражения не меняется.
Степень многочлена находят только после такого упрощения. Нужно определить степень каждого одночлена, то есть сумму показателей степеней его букв, а затем выбрать наибольшую. Например, в 4x³y² − 7xy + 1 степени одночленов равны 5, 2 и 0, поэтому степень многочлена равна 5. Если одинаковые слагаемые взаимно уничтожились, исчезнувший член уже не участвует в выборе степени.
Слагаемые часто записывают по убыванию степеней переменной: сначала с наибольшей степенью, затем с меньшими. Так многочлен 3 + 2x⁴ − x² + 5x записывают как 2x⁴ − x² + 5x + 3. Такая последовательность не обязательна для самого значения выражения, но облегчает сравнение многочленов и выполнение действий над ними. Слагаемые с разными буквенными частями объединять нельзя: x² и x имеют разные части, как и 3ab и 3a².
| Понятие | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Многочлен | Сумма одночленов, соединённых сложением или вычитанием | 3x² − 2x + 5 |
| Подобные слагаемые | Слагаемые с одинаковой буквенной частью | 4a² и −7a² |
| Многочлен стандартного вида | Подобные слагаемые приведены, одночлены записаны в стандартном виде | 6a² + 4a − 1 |
| Степень многочлена | Наибольшая степень одночлена с ненулевым коэффициентом | 7x³ − x + 4, степень 3 |
Таблица помогает быстро отличить сам многочлен от его упрощённой записи и характеристики. При проверке сначала найдите буквенные части слагаемых, затем сравните степени и коэффициенты. Пример в последнем столбце показывает, как определение выглядит в конкретной записи.
Условие: указать, является ли выражение 3x² − 2x + 5 многочленом, и назвать его слагаемые. Нужно проверить, состоит ли запись из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания.
Ответ: да, это многочлен; его слагаемые — 3x², −2x и 5.
Условие: привести к стандартному виду многочлен 4a² − 3a + 2a² + 7a − 1. Сначала нужно увидеть, какие слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
Ответ: 6a² + 4a − 1.
Условие: привести к стандартному виду выражение 2x(3x − 1) − (x² − 4x + 2) и определить степень результата. Здесь сначала раскрываем обе скобки, особенно внимательно работая с минусом перед второй скобкой.
Ответ: 5x² + 2x − 2; степень многочлена — 2.
Ошибка 1. Складывают x² и x, потому что обе записи содержат букву x. Их буквенные части различаются показателями степеней, поэтому слагаемые не подобны. Проверка: сравните не только буквы, но и все их показатели.
Ошибка 2. При минусе перед скобками меняют знак только у первого слагаемого. Это происходит из-за того, что минус воспринимают как знак ближайшего числа, хотя он относится ко всей скобке. Проверьте каждый член: −(a − b + c) = −a + b − c.
Ошибка 3. Степень находят по числу слагаемых или по первому члену исходной записи. Но порядок записи может быть случайным, а после упрощения некоторые члены исчезают. Сначала приведите многочлен к стандартному виду и только потом выберите наибольшую степень.
Ошибка 4. Учитывают слагаемое с коэффициентом 0, например 0x⁵, при определении степени. Такой член равен нулю и после приведения к стандартному виду исчезает. Проверка проста: оставьте только одночлены с ненулевыми коэффициентами.
Для работы с многочленами нужно знать одночлены, их коэффициенты и степени, а также уметь перемножать одночлены. Эти знания помогают правильно раскрывать произведения и определять степень получившихся членов.
При преобразовании многочленов используются раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Это навыки работы с буквенными выражениями, которые позволяют сохранять значение выражения и получать более удобную запись.
Позже многочлены понадобятся при сложении, вычитании и умножении многочленов. Они также встречаются при преобразовании выражений и решении уравнений.
Чем многочлен отличается от одночлена?
Одночлен состоит из одного числового множителя и произведения букв в степенях. Многочлен является суммой или разностью нескольких одночленов. Например, 5x² — одночлен, а 5x² − 3x + 1 — многочлен.
Какие слагаемые называются подобными?
Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с теми же показателями степеней. Их можно объединять, складывая или вычитая коэффициенты. Например, 4a² и −7a² подобны, а 4a² и 4a — нет.
Как привести многочлен к стандартному виду?
Сначала раскрывают скобки, если они есть, и внимательно учитывают знаки. Затем находят подобные слагаемые и складывают их коэффициенты. После этого каждый одночлен записывают в стандартном виде, обычно располагая слагаемые по убыванию степеней переменной.
Как определить степень многочлена?
Сначала многочлен приводят к стандартному виду. Затем находят степень каждого одночлена с ненулевым коэффициентом и выбирают наибольшую. Например, степень многочлена 3x⁴ − 2x + 6 равна 4.
Можно ли считать многочленом выражение с отрицательными коэффициентами?
Да, отрицательные коэффициенты не мешают выражению быть многочленом. Знак минус перед слагаемым показывает, что его коэффициент отрицателен. Например, −2x² + 5x − 1 — многочлен.
§ 13. Многочлены
