§ 12. Умножение одночленов

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового множителя и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. Например, 4x²y и −3ab³ — одночлены, как и число 7 или переменная x: их можно представить в виде такого произведения. Сумма 2x + 5 одночленом не является, потому что в ней два слагаемых. Это понятие помогает распознавать выражения, которые можно умножать по общему правилу.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой сначала стоит числовой коэффициент, а степени одинаковых переменных объединены. Например, 2x · 3x² можно записать как 6x³: одинаковые переменные собраны в одну степень. Запись −4ba² тоже можно привести к стандартному виду: −4a²b. Такая форма делает одночлен удобным для сравнения и дальнейших вычислений.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартном виде. В записи −5x²y коэффициент равен −5, а в 3ab — 3. Если число явно не написано, коэффициент равен 1: например, у x² коэффициент 1, а у −x он равен −1. Знание коэффициента позволяет отдельно выполнять числовую часть умножения и не терять знак.

Произведение одночленов — результат умножения нескольких одночленов; его тоже можно представить одним одночленом. Например, произведение 2x и 3x² равно 6x³. Это возможно потому, что в числовой части перемножаются числа, а в буквенной — степени переменных. Такой способ упрощает преобразование выражений с буквами.

Как это устроено

При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножают отдельно от буквенной части. Это удобно, потому что множители можно переставлять и группировать: числа собрать вместе, а степени переменных — отдельно. Например, в произведении 2a · 3b числовые множители дают 6, а буквенные остаются a и b. В итоге получается 6ab.

Степени одной и той же переменной перемножают по правилу умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складывают. Причина видна из смысла степени: a³ — это три множителя a, а a² — ещё два таких множителя. Вместе получается пять множителей, то есть a⁵; поэтому a³ · a² = a³⁺². Основание при этом сохраняется.

У степеней разных переменных основания не совпадают, поэтому показатели складывать нельзя. Например, a² означает множители a, а b³ — множители b; они не становятся пятью одинаковыми множителями. Поэтому a² · b³ записывают как a²b³. Переменные остаются отдельными множителями, если их основания различны.

Если переменная встречается только в одном множителе, её степень входит в результат без изменения. Например, в произведении 2x² · 3y переменная y есть только во втором одночлене, поэтому в ответе она остаётся в первой степени: 6x²y. Нельзя отбросить её только потому, что в другом множителе её нет. Каждый буквенный множитель должен перейти в произведение.

После вычислений результат приводят к стандартному виду: коэффициент ставят первым, а одинаковые переменные объединяют. Например, запись a · 2b · 3a сначала можно сгруппировать как 2 · 3 · a · a · b, а затем получить 6a²b. Такая проверка заодно помогает заметить пропущенные переменные и неупрощённые степени. Коэффициент 1 обычно не записывают.

Как умножать одночлены

Пользуйся таблицей по порядку: сначала вычисли коэффициенты, затем разберись с каждой переменной. Одинаковые основания объединяй, разные оставляй отдельно. В конце проверь, что запись приведена к стандартному виду.

Разбор задач

Найдите произведение 3x · 4x.

Оба множителя содержат число и одну и ту же переменную x. Поэтому сначала найдём произведение чисел, а затем объединим степени x. Здесь каждый x имеет показатель 1, даже если единица не написана.

1. Перемножим коэффициенты: 3 · 4 = 12.
2. Объединим одинаковые переменные: x · x = x², так как 1 + 1 = 2.
3. Запишем коэффициент перед буквенной частью: 12x².

Ответ: 12x².

Найдите произведение −2a²b · 5ab³.

В этом примере важно отдельно проследить за знаком, переменными a и b. Коэффициенты −2 и 5 перемножаются, а показатели складываются только у одинаковых переменных. У a во втором множителе показатель 1, как и у b в первом.

1. Найдём числовую часть: −2 · 5 = −10.
2. Для a сложим показатели: a² · a = a²⁺¹ = a³.
3. Для b также сложим показатели: b · b³ = b¹⁺³ = b⁴.
4. Объединим части и поставим коэффициент первым: −10a³b⁴.

Ответ: −10a³b⁴.

Найдите произведение 1,5x³y² · (−4xy⁴z) · 2x²z³ и запишите результат в стандартном виде.

Здесь три множителя, поэтому удобно собрать коэффициенты и отдельно выписать степени каждой переменной. Переменные x и z встречаются в нескольких множителях, y — в двух. Для каждой буквы сложим только её собственные показатели, не смешивая разные основания.

1. Перемножим коэффициенты: 1,5 · (−4) · 2 = −12.
2. Соберём x: x³ · x · x² = x³⁺¹⁺² = x⁶.
3. Соберём y: y² · y⁴ = y²⁺⁴ = y⁶. Для z получим z · z³ = z¹⁺³ = z⁴.
4. Поставим коэффициент перед буквенной частью и запишем результат стандартно.

Ответ: −12x⁶y⁶z⁴.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать коэффициенты, например считать, что 3x · 4x = 7x². Так делают, путая умножение одночленов со сложением подобных слагаемых. Здесь числовые множители нужно именно перемножить, поэтому ответ — 12x². Для проверки отдельно выпиши действие с числами: 3 · 4.

Вторая ошибка — перемножать показатели степеней одинакового основания: например, получать x⁶ из x² · x³. Обычно правило путают с другими действиями над степенями. При умножении показатели складываются, ведь объединяются группы одинаковых множителей: x² · x³ = x⁵. Проверь, сколько буквенных множителей получилось бы при раскрытии степеней.

Третья ошибка — складывать показатели разных переменных, например превращать a² · b³ в ab⁵. Это происходит, когда смотрят только на числа-показатели и забывают проверить основания степеней. Основания a и b разные, поэтому правильная запись — a²b³. Перед объединением убедись, что под степенями стоит одна и та же переменная.

Четвёртая ошибка — потерять знак или переменную при вычислении. При нескольких множителях легко сосредоточиться на степенях и не заметить, что отрицательный коэффициент должен дать отрицательный результат, или пропустить букву, встречающуюся только один раз. Проверяй числовую и буквенную части отдельно: пересчитай знак и коэффициенты, затем отметь каждую переменную из исходного выражения. После этого приведи ответ к стандартному виду.

Связь с другими темами

Перед умножением одночленов нужно уметь распознавать одночлены и их коэффициенты, понимать запись степеней с натуральными показателями и умножать целые числа. Эти знания помогают не путать числовую и буквенную части и правильно учитывать знак. Позже умножение одночленов понадобится при преобразовании многочленов и раскрытии скобок. Правило умножения степеней с одинаковым основанием также используют в выражениях со степенями.

Что запомнить

• При умножении одночленов получается одночлен.
• Коэффициенты перемножают.
• Показатели степеней одинаковых переменных складывают.
• Степени разных переменных не объединяют.
• Переменная, встречающаяся только в одном множителе, сохраняется.
• Результат записывают в стандартном виде.