§ 11. Одночлен. Стандартный вид одночлена

Определения и обозначения

Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Это может быть несколько множителей, например 3x²y, а может быть только число или одна переменная: число рассматривается как множитель без переменных, а у переменной показатель равен 1.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. Чтобы его найти, отдели числа от переменных и перемножь числа; если число не записано, коэффициент равен 1, а перед переменной стоит только знак минус — коэффициент равен −1. Это помогает сразу увидеть числовую часть выражения.

Стандартный вид одночлена — запись в виде произведения коэффициента и степеней различных переменных, расположенных в принятом порядке. В каждой степени показатель натуральный; одинаковые переменные записывают вместе, а числовой множитель ставят перед ними. Такая запись делает строение одночлена ясным.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, у 4x²y³ степень равна 2 + 3 = 5, а у ненулевого числа степень равна 0. Степень показывает общий показатель, а не показатель одной выбранной переменной.

Как это устроено

В одночлене множители только перемножаются: числа и переменные с натуральными показателями. Поэтому выражение 4x²y устроено как произведение 4, x² и y. В выражении x/3 переменная оказалась в знаменателе, а после переписывания это означало бы показатель −1; в √x показатель был бы дробным. Ни отрицательные, ни дробные показатели не подходят к принятому здесь определению одночлена.

Повторяющиеся одинаковые переменные удобно заменять степенью, потому что степень — короткая запись произведения равных множителей. Например, x · x · x = x³: переменная x повторена три раза, поэтому показатель равен 3. Эта замена не меняет значение выражения, но помогает быстро увидеть его строение и посчитать показатели при дальнейшем умножении.

Чтобы получить стандартный вид, сначала перемножь числовые множители, затем собери отдельно все множители с одинаковой переменной и запиши их степенью. Например, в x · x² переменная x встречается один и два раза, поэтому получается x³. Разные переменные оставляют разными, а располагают в принятом порядке; множитель 1 обычно опускают. Так запись становится компактной и удобной для сравнения.

Коэффициент в стандартной записи — число перед переменными, а если оно не видно, следует учитывать подразумеваемую единицу. Например, в −ab² коэффициент −1, а в ab² — 1. Степень находят, складывая показатели всех переменных: у −3a²b⁴ она равна 2 + 4 = 6. У переменной без показателя показатель равен 1, поэтому её тоже включают в сумму.

Нулевой одночлен — это выражение, равное нулю, например 0x²y. Его коэффициент равен нулю, поэтому при любых значениях переменных всё произведение остаётся нулём. Степень одночлена должна описывать показатели переменных в ненулевом выражении, но для нулевого такой показатель не задают. Поэтому степень нулевого одночлена не определяют.

Признаки и характеристики одночлена

Сначала проверь, является ли выражение произведением допустимых множителей, затем посмотри, приведено ли оно к стандартному виду. Для ненулевого одночлена отдельно найди числовой коэффициент и сложи показатели переменных. Если коэффициент нулевой, степень не указывай.

Разбор задач

1. Определите, какие из выражений 5x², 3x + 1, 2/x и √x являются одночленами.

Проверяем каждую запись по строению: одночлен должен быть произведением чисел и переменных с натуральными показателями. Сложение отдельных слагаемых, переменная в знаменателе и переменная под корнем этому условию не соответствуют. Разберём выражения по очереди.

1. 5x² — произведение числа 5 и степени переменной с натуральным показателем 2, значит, это одночлен.
2. 3x + 1 содержит сумму двух слагаемых, поэтому это не одночлен.
3. 2/x содержит переменную в знаменателе; показатель x при переносе в числитель был бы отрицательным, значит, это не одночлен.
4. √x содержит переменную под корнем, что соответствует дробному показателю, поэтому это не одночлен.

Ответ: одночленом является только 5x².

2. Приведите одночлен −2a · 3a²b · b³ к стандартному виду и укажите его коэффициент.

Здесь произведение уже состоит из допустимых множителей, но одинаковые переменные повторяются. Сгруппируем числа, множители с a и множители с b. Так можно упростить запись, не меняя значения произведения.

1. Перемножаем числовые множители: −2 · 3 = −6.
2. Собираем переменные a: a · a² = a³, так как показатели 1 и 2 складываются.
3. Собираем переменные b: b · b³ = b⁴, поскольку показатели 1 и 3 складываются.
4. Записываем коэффициент перед переменными: −6a³b⁴. Числовой множитель этого одночлена равен −6.

Ответ: −6a³b⁴; коэффициент −6.

3. Приведите к стандартному виду выражение 4xy² · (−3x²z) · 2yz³, затем укажите коэффициент и степень полученного одночлена.

В произведении есть числовые множители и три вида переменных. Чтобы не потерять знак или множитель, отдельно сгруппируем числа, x, y и z. После получения стандартного вида коэффициент будет виден сразу, а степень найдём по сумме показателей.

1. Перемножаем числа: 4 · (−3) · 2 = −24.
2. Собираем одинаковые переменные: x · x² = x³, y² · y = y³, z · z³ = z⁴.
3. Записываем результат: −24x³y³z⁴. Его коэффициент равен −24.
4. Складываем показатели: 3 + 3 + 4 = 10, значит, степень одночлена равна 10.

Ответ: −24x³y³z⁴; коэффициент −24, степень 10.

Типичные ошибки

Считать выражение с переменной в знаменателе одночленом. Так ошибаются, потому что видят только умножение числа на дробь; однако переменная в знаменателе соответствовала бы отрицательному показателю. Проверь запись: если для переменной нужен отрицательный показатель или она остаётся в знаменателе, это не одночлен.

Складывать показатели степеней разных переменных. Такое случается, когда показатели принимают за обычные числа и складывают все подряд. Складывать их можно только у одинаковых оснований: x² · x³ = x⁵, но степени x и y остаются отдельными. Для проверки сгруппируй множители по буквам.

Забывать перемножить коэффициенты или терять знак. При работе с буквами внимание часто сосредоточено на степенях, а числа остаются без обработки; особенно легко пропустить минус. До записи результата вычисли произведение всех чисел отдельно и проверь знак по правилам умножения целых чисел.

Называть степенью одночлена показатель одной переменной или приписывать степень нулю. Первая ошибка возможна, когда переменных несколько, вторая — когда правило для ненулевых выражений применяют без проверки коэффициента. Сложи показатели всех букв, а затем проверь, что коэффициент не равен нулю: для нулевого одночлена степень не определяют.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужно уметь умножать целые числа, включая отрицательные, и применять свойства степеней с одинаковым основанием. Эти навыки позволяют правильно сгруппировать числовые множители и заменить повторяющиеся переменные одной степенью. Стандартная запись понадобится при умножении одночленов и многочленов, раскрытии скобок и упрощении выражений. Она помогает выполнять преобразования последовательно и не терять знаки.

Что запомнить

• Одночлен — произведение числовых множителей и переменных с натуральными показателями.
• В стандартном виде числовой коэффициент записывают перед степенями переменных.
• Числовой множитель, равный 1, обычно не записывают.
• Показатели степеней одинаковых переменных при умножении складывают.
• Коэффициент одночлена — его числовой множитель.
• Степень ненулевого одночлена равна сумме показателей всех переменных.
• Степень нулевого одночлена не определяют.