§ 14. Приведение подобных членов

Определения и обозначения

Член выражения — это слагаемое, из которого составлено выражение. Знаки «+» и «−» показывают, где заканчивается один член и начинается другой, причём знак «−» относится ко всему следующему члену. Умение выделять члены нужно, чтобы правильно сравнивать их и объединять.

Коэффициент — числовой множитель буквенной части одночлена. Коэффициент 1 обычно не записывают: a означает 1a, а знак минус перед буквой означает коэффициент −1: −a = −1a. Это помогает не терять невидимые числа при сложении членов.

Подобные члены — это члены с одинаковой буквенной частью. В них должны совпадать и буквы, и показатели их степеней, но коэффициенты могут быть разными. Например, 4ab и −7ab подобны, а 4ab и 4a — нет.

Приведение подобных членов — это замена суммы или разности подобных членов одним членом с той же буквенной частью. Для этого складывают или вычитают их коэффициенты. Такой приём делает выражение короче и удобнее для дальнейших вычислений.

Как это устроено

Чтобы проверить, подобны ли два члена, сначала отделяют числовую часть от буквенной. Затем сравнивают буквы и показатели степеней: совпасть должны все элементы буквенной части. Коэффициенты сравнивать не требуется, потому что именно они изменяются при приведении, например 3x и −10x являются подобными.

Подобные члены можно объединять из-за общего буквенного множителя. Так, в выражении 3a + 5a буква a встречается в обоих слагаемых, поэтому 3a + 5a = (3 + 5)a = 8a. Буквенная часть остаётся прежней, а действие выполняют только с коэффициентами.

У члена без явно записанного числа коэффициент равен 1, а у члена со знаком минус перед буквой — −1. Поэтому a + 4a = 1a + 4a = 5a, а −a + 6a = −1a + 6a = 5a. Такое представление позволяет правильно учитывать каждый член, даже если его коэффициент скрыт.

Если в выражении есть скобки, сначала раскрывают их, потому что до этого отдельные члены внутри скобок ещё не видны в общей сумме. При умножении скобок на число умножают на него каждый член, а знак минус перед скобками меняет знаки всех членов внутри. Только после этого удобно искать подобные слагаемые и объединять их.

Члены с разными буквенными частями не объединяют. Например, 2a и 2b имеют одинаковые коэффициенты, но разные буквы, поэтому сумма 2a + 2b остаётся без изменений. Нельзя превращать её в 4ab: это было бы не приведением, а другим, неверным выражением.

Распознавание и приведение подобных членов

В таблице сначала найдите буквенную часть каждого члена, а затем объедините только совпадающие части. Числовые слагаемые считают подобными между собой, потому что у них одинаковая пустая буквенная часть. Если подходящих членов нет, выражение оставляют без такого преобразования.

Разбор задач

Задача 1. Привести подобные члены: 3x + 5x.

Нужно найти общую буквенную часть и выполнить действие только с коэффициентами. У обоих членов буквенная часть x, значит, они подобны. После объединения результат проверяем обратным раскрытием: 8x можно представить как 3x + 5x.

1. Выделяем коэффициенты: 3 и 5.
2. Складываем их: 3 + 5 = 8.
3. Сохраняем буквенную часть x и получаем 8x.

Ответ: 8x.

Задача 2. Упростить выражение: 4a − 7 + 2a + 3.

В выражении есть буквенные и числовые члены, поэтому их нельзя складывать в одну общую группу. Сначала собираем члены с a, а затем постоянные числа, не меняя их знаки. Число −7 имеет отрицательный знак, поэтому при объединении с 3 получается −4.

1. Группируем подобные члены: 4a + 2a и −7 + 3.
2. Складываем коэффициенты буквенных членов: 4 + 2 = 6, значит, получаем 6a.
3. Складываем числовые члены: −7 + 3 = −4.
4. Записываем результат: 6a − 4.

Ответ: 6a − 4.

Задача 3. Упростить выражение: 2(3x − 1) − 4x + 5 − 3(x + 2).

Сначала раскрываем обе скобки, потому что знак перед второй скобкой отрицательный. Умножение 2 меняет коэффициенты обоих членов первой скобки, а −3 меняет знаки и умножает оба члена второй скобки. После этого группируем члены с x и числа.

1. Раскрываем скобки: 2(3x − 1) = 6x − 2, а −3(x + 2) = −3x − 6.
2. Подставляем результаты: 6x − 2 − 4x + 5 − 3x − 6.
3. Объединяем буквенные члены: 6x − 4x − 3x = −x.
4. Объединяем числа: −2 + 5 − 6 = −3.
5. Получаем итоговое выражение: −x − 3.

Ответ: −x − 3.

Типичные ошибки

Первая ошибка — объединять члены с разными буквенными частями, например 2a + 3b превращать в 5ab. Так происходит, когда смотрят только на коэффициенты и не сравнивают буквы. Проверьте себя: выпишите буквенную часть каждого члена и убедитесь, что она совпадает полностью.

Нельзя складывать буквенные части вместо коэффициентов. В выражении 3x + 5x буква x сохраняется, а результат равен 8x, не 3x² и не 8. Полезная проверка — вынести общую букву за скобки и выполнить действие с числами.

Иногда забывают о коэффициентах 1 и −1. Поэтому a + 2a — это 1a + 2a, а −a + 2a — это −1a + 2a. Перед вычислением мысленно допишите пропущенный коэффициент.

При раскрытии скобок часто теряют знак. Минус перед скобками относится к каждому члену внутри, поэтому −(x + 3) = −x − 3. После раскрытия перепроверьте каждый знак и только затем объединяйте подобные члены.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь находить слагаемые выражения и учитывать их знаки. Также важно владеть раскрытием скобок, поскольку без этого нельзя правильно привести члены в сложных выражениях.

Приведение подобных членов используется при упрощении буквенных выражений, решении уравнений и преобразовании многочленов. Чем аккуратнее выполнено это действие, тем проще заметить неизвестное и продолжить решение.

Что запомнить

• Подобные члены имеют одинаковые буквенные части.
• Коэффициенты у подобных членов могут быть разными.
• При приведении подобных членов складывают или вычитают их коэффициенты.
• Буквенную часть после объединения сохраняют.
• Коэффициент перед буквой, если он не записан, равен 1.
• Члены с разными буквенными частями не приводят.
• Перед приведением членов в скобках сначала раскрывают скобки и учитывают знаки.