"Алгебра", Алимов Ш.А.
Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 4x и −2x. Их можно заменить одним слагаемым: сложить или вычесть коэффициенты, а буквы оставить без изменений. Так выражения становятся короче и удобнее для вычислений, преобразования формул и решения уравнений. Главное — сравнивать не только числа перед буквами, но и сами буквы с их показателями степеней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, включая одинаковые показатели степеней букв. Например, 3ab и −5ab подобны, а 3ab и 3a²b — нет. Это определение помогает понять, какие части выражения можно объединить.
Коэффициент — числовой множитель одночлена. В записи 6x коэффициент равен 6, а у x он равен 1, хотя единицу обычно не пишут. Перед −x скрыт коэффициент −1, и его тоже нужно учитывать при вычислениях.
Приведение подобных слагаемых — замена суммы подобных слагаемых одним слагаемым. Например, 4x + 2x заменяют на 6x. Это действие позволяет записать выражение короче, не изменяя его значения.
Алгебраическое выражение — запись из чисел, букв и знаков действий, например 2x + 3 − x. В нём можно распознавать слагаемые с одинаковой буквенной частью и объединять их. Поэтому полезно сначала выделить слагаемые, а затем проверить, какие из них подобны.
Подобные слагаемые можно представить как несколько одинаковых наборов, например одинаковые предметы, взятые разное число раз. В выражении 3x + 2x три набора по x дополняются ещё двумя такими же наборами. Поэтому буква x остаётся, а числа, показывающие количество наборов, складываются: получается 5x.
Правило ax + bx = (a + b)x следует из распределительного свойства умножения: общий множитель x выносят за скобки. Действительно, ax + bx — это x, умноженное на a, плюс x, умноженное на b, то есть x(a + b). Например, 4x − 3x = (4 − 3)x = x. Так видно, почему буквенная часть не меняется, а действие выполняют только с коэффициентами.
Чтобы найти подобные слагаемые в выражении с несколькими буквами или степенями, сравнивайте состав буквенной части целиком. Слагаемые 2a²b и −5a²b подобны: совпадают обе буквы и их степени. Слагаемые 2ab² и 2a²b не подобны, потому что степени букв распределены иначе. Удобно мысленно сгруппировать все слагаемые с одной и той же буквенной частью.
Если буквенные части различаются, сложить коэффициенты нельзя: коэффициенты относятся к разным слагаемым. Например, 2x + 3y нельзя заменить на 5xy или на 5x, поскольку ни одна из этих записей не означает исходную сумму. Различие показателей степени тоже меняет буквенную часть: x и x² — разные выражения. Проверка простая: оставьте буквы и степени на месте, а сравните их у каждого слагаемого.
Когда выражение содержит скобки, сначала их раскрывают, а затем приводят подобные слагаемые. При умножении на число перед скобками каждый член внутри умножается на это число; если перед скобками стоит минус, знаки членов меняются. После раскрытия скобок можно увидеть все слагаемые и сгруппировать их по буквенной части. Такой порядок предотвращает ошибки со знаками и сохраняет значение выражения.
| Ситуация | Что сравнивать | Действие с коэффициентами | Результат |
|---|---|---|---|
| Одинаковая буквенная часть | Буквы и их показатели степеней | Сложить или вычесть | Один коэффициент при общей буквенной части |
| Разные буквенные части | Набор букв и показатели степеней | Не объединять | Слагаемые остаются отдельно |
| Один из коэффициентов равен 1 или −1 | Учесть невидимый коэффициент | Сложить с учётом знака | Записать полученный коэффициент |
| Противоположные коэффициенты | Одинакова ли буквенная часть | Сложить коэффициенты, сумма равна нулю | Слагаемые взаимно уничтожаются |
| Несколько групп подобных слагаемых | Буквенную часть каждого слагаемого | Отдельно выполнить действие в каждой группе | Сумма упрощённых групп |
Сначала сравните буквенные части, не обращая внимания на величину коэффициентов. Затем объединяйте только слагаемые внутри одной группы, внимательно учитывая знаки и скрытые коэффициенты 1 и −1. Если коэффициенты в группе дают ноль, эту группу можно убрать.
У всех трёх слагаемых одна буквенная часть x, значит, их можно объединить. Сохраняем x и складываем коэффициенты, включая знак минус у второго слагаемого. Получается (7 − 3 + 5)x = 9x.
Ответ: 9x.
Здесь встречаются две разные буквенные части, a и b, поэтому складываем их отдельно. В группе с a коэффициенты равны 4, 2 и −1; перед последним слагаемым буква записана без числа, значит, его коэффициент равен −1. Для b получаем коэффициенты −3 и 5. После вычислений собираем результаты в одно выражение.
Ответ: 5a + 2b.
Перед приведением подобных слагаемых раскрываем обе скобки. Число 3 умножаем и на 2x, и на −5; множитель −2 меняет знаки обоих членов в скобках. Только после этого собираем слагаемые с x отдельно от чисел.
Ответ: −10.
Объединяют слагаемые с разными буквенными частями. Так бывает, если смотреть только на числа перед буквами: например, ошибочно считать, что 2a + 3b = 5ab. Для проверки сравните все буквы и степени; если они различаются, оставьте слагаемые отдельно.
Забывают коэффициент 1 или −1. В записи x число перед буквой не видно, а в −x не видно числа −1, поэтому легко неверно посчитать сумму. Перед вычислением подпишите коэффициенты: x = 1x, −x = −1x, и проверьте, учтён ли знак.
Неправильно меняют знаки при раскрытии скобок. Особенно часто сохраняют знак члена после множителя −1, хотя при умножении на отрицательное число знак меняется. Раскрывайте скобки умножением каждого члена отдельно и затем проверьте результат обратным раскрытием.
Складывают буквенные части или показатели степеней. Например, вместо 2a + 5a записывают 7a², будто при сложении нужно складывать буквы или их степени. Проверьте себя так: оставьте одинаковую буквенную часть на месте и выполните только действие с коэффициентами.
Чтобы приводить слагаемые, нужно уметь различать одночлен, коэффициент и буквенную часть, а также знать распределительное свойство умножения. Оно объясняет, почему общий множитель можно сохранить, а числовые множители объединить.
Приведение подобных слагаемых используют при упрощении многочленов, раскрытии скобок и решении линейных уравнений. Оно также помогает преобразовывать формулы и готовить выражение к вычислению его значения: короткую запись обычно проще проверить и посчитать.
Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
При приведении подобных слагаемых складывают или вычитают только коэффициенты.
Буквенная часть сохраняется без изменения.
Слагаемые с разными буквенными частями не являются подобными.
Коэффициент буквы x равен 1, если он явно не записан.
Перед приведением слагаемых со скобками сначала раскрывают скобки.
Приведение подобных слагаемых упрощает алгебраическое выражение.
Почему 3x и 3x² не являются подобными слагаемыми?
У этих слагаемых разные буквенные части: в первом стоит x, а во втором — x². Показатель степени является частью записи, поэтому объединить такие слагаемые нельзя.
Можно ли привести подобные слагаемые, если буквы записаны в другом порядке?
Да, порядок букв не меняет буквенную часть: ab и ba означают одно и то же произведение. Поэтому слагаемые 2ab и 5ba подобны, и их можно заменить на 7ab.
Что делать, если перед буквой коэффициент не указан?
Считать, что коэффициент равен 1: запись x означает 1x. Если перед буквой стоит минус, коэффициент равен −1: −x означает −1x.
Почему при сложении 2a и 5a получается 7a, а не 7a²?
В каждом слагаемом буква a встречается в первой степени, и буквенная часть при сложении сохраняется. Складываются только коэффициенты: 2 + 5 = 7.
В каком порядке раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые?
Сначала раскройте скобки, умножив каждый член внутри них на множитель перед скобками и верно определив знаки. Затем найдите слагаемые с одинаковой буквенной частью и приведите их.
§ 14. Приведение подобных членов
