"Алгебра", Алимов Ш.А.
Многочлены складывают и вычитают, чтобы упрощать алгебраические выражения и выполнять дальнейшие преобразования. Для этого раскрывают скобки, учитывают знаки слагаемых и объединяют только подобные одночлены — с одинаковой буквенной частью. При сложении знаки сохраняются, а минус перед скобками меняет знаки всех одночленов внутри. Итог записывают в стандартном виде и проверяют, не остались ли подобные слагаемые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов, каждый из которых записан в стандартном виде. Например, 3x² − 2x + 5 — многочлен из трёх одночленов. Число 7 и одночлен 4a тоже считаются многочленами, хотя в их записи всего одно слагаемое. Это позволяет применять к ним те же правила сложения и вычитания.
Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью, то есть с теми же буквами в тех же степенях. Например, 3x и −5x подобны, а x и x² — нет. Подобные слагаемые можно объединить: складывают или вычитают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют. Так выражение становится короче и проще.
Сумма многочленов — результат сложения двух или нескольких многочленов после раскрытия скобок и приведения подобных одночленов. Например, (2x + 1) + (3x − 4) = 5x − 3. Слагаемые с разными буквенными частями остаются в ответе отдельно. Это правило помогает не менять значение выражения при упрощении.
Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Первый многочлен уменьшают на второй, поэтому вычитаемый многочлен удобно заключить в скобки: A − (B). Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри. Так запись ясно показывает, какие именно слагаемые вычитаются.
Чтобы сложить многочлены, запиши каждый из них в скобках, поставив между скобками знак плюс. При раскрытии скобок после плюса знаки слагаемых остаются прежними, потому что прибавляется весь многочлен. Затем найди одночлены с одинаковой буквенной частью и объедини их, складывая коэффициенты. Слагаемые с разными буквенными частями объединить нельзя: например, x обозначает слагаемое первой степени, а x² — второй, и они отвечают за разные части выражения.
При вычитании второй многочлен заключают в скобки, а перед ними ставят минус: A − (B). Это означает, что нужно вычесть каждое слагаемое многочлена B, поэтому знак каждого из них меняется на противоположный. Например, −(2x − 3) превращается в −2x + 3. Только после такого раскрытия скобок можно собирать подобные слагаемые; если поменять знак лишь у первого слагаемого, получится уже другое выражение.
При сложении действует переместительное свойство: слагаемые можно переставлять, а сочетательное свойство разрешает группировать их по-разному. Эти свойства помогают расположить рядом подобные одночлены, даже если сначала они стояли далеко друг от друга. Например, в выражении 2x + 3 + 5x − 1 удобно собрать 2x и 5x, а числа 3 и −1 — отдельно. Перестановка не меняет значение, если каждый знак сохраняется вместе со своим слагаемым.
Если многочлены записаны в стандартном виде, одночлены с одинаковыми степенями переменной удобно поставить друг под другом. Например, столбиком можно совместить слагаемые с x², затем с x, а затем числа; отсутствующее слагаемое можно мысленно считать равным нулю. Такой способ помогает не пропустить одночлен или его знак. После сложения или вычитания результат приводят к стандартному виду: объединяют все подобные слагаемые и обычно располагают степени переменной по убыванию.
| Действие | Запись | Что сделать со скобками | Что сделать с одночленами |
|---|---|---|---|
| Сложение многочленов | A + B | Раскрыть скобки; после плюса знаки не менять | Собрать подобные слагаемые |
| Вычитание многочленов | A − (B) | Раскрыть скобки и сменить знак каждого слагаемого в B | Собрать подобные слагаемые |
| Приведение подобных одночленов | 3x + 2x = 5x | Скобки не нужны, если знаки уже учтены | Сложить или вычесть коэффициенты, буквенную часть оставить |
| Запись результата в стандартном виде | 5x² − 2x + 1 | Убедиться, что все скобки раскрыты | Объединить подобные и упорядочить слагаемые |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала разбери скобки, затем приведи подобные одночлены. В строке о вычитании особенно внимательно проверь знаки всех слагаемых второго многочлена. В конце сверь ответ с правилами стандартной записи.
Задача 1. Найдите сумму многочленов 3x + 2 и 5x − 7. Здесь можно отдельно объединить слагаемые с x и числа, потому что у каждой такой пары одинаковая буквенная часть. Скобки помогают увидеть исходные многочлены, а знак плюс перед вторыми скобками сохраняет их знаки. После приведения подобных ответ будет записан в стандартном виде.
Ответ: 8x − 5. Проверка: подобные слагаемые объединили, а x и число оставили отдельно. Результат записан по убыванию степеней переменной.
Задача 2. Вычтите из 4a² − 3a + 1 многочлен a² + 2a − 5. Сначала обозначим скобками вычитаемый многочлен, то есть тот, который вычитают. Минус относится ко всем его слагаемым, поэтому нельзя менять знак только у a². Затем объединим отдельно слагаемые с a², с a и числа.
Ответ: 3a² − 5a + 6. Проверка: при раскрытии скобок все три знака второго многочлена изменились. В результате нет оставшихся подобных слагаемых.
Задача 3. Упростите выражение (2x² − 3x + 4) − (x² + 5x − 6) + (3x² − 2). Здесь есть и вычитание, и сложение, поэтому важно учитывать знак перед каждой группой. У второй скобки стоит минус, а у третьей — плюс. После раскрытия удобно собрать вместе слагаемые с x², с x и числа.
Ответ: 4x² − 8x + 8. Проверка: знаки при раскрытии второй скобки сменились, а знаки третьей не изменились. Ответ приведён к стандартному виду.
Меняют знак только у первого слагаемого после минуса. Так бывает, если минус воспринимают как относящийся лишь к ближайшему одночлену. На самом деле вычитается весь многочлен, поэтому меняется знак каждого его слагаемого. Для проверки раскрой скобки по одному одночлену и сверь, что ни один не пропущен.
Складывают коэффициенты у неподобных одночленов. Например, из x + x² нельзя получить 2x или 2x², потому что буквенные части различаются. Ошибку допускают, замечая одинаковую букву, но не учитывая её степень. Перед объединением сравни всю буквенную часть: буквы и их показатели должны совпадать.
Теряют или неверно переписывают знак слагаемого. При раскрытии длинных скобок легко забыть, что перед ними стоял минус, или перепутать знак отдельного одночлена. Проверяй каждое слагаемое отдельно: знак меняется только при минусе перед скобками, при плюсе он сохраняется. Полезно переписать все слагаемые в одну строку, прежде чем группировать их.
Оставляют подобные слагаемые или не приводят ответ к стандартному виду. Например, запись 2x + 3x + 1 ещё можно упростить. Такое случается, когда после вычислений не делают итоговую проверку. Просмотри ответ ещё раз, объедини все одночлены с одинаковой буквенной частью и расположи их в принятом порядке.
Перед сложением и вычитанием многочленов нужно уметь приводить одночлен к стандартному виду, определять его коэффициент и буквенную часть, а также находить подобные одночлены. Эти умения помогают понять, какие слагаемые можно объединять и как не перепутать их знаки. Если их пока трудно различать, потренируйся сначала на отдельных одночленах.
Сложение и вычитание многочленов нужны при умножении многочленов, разложении выражений на множители и упрощении алгебраических записей. Во всех этих действиях приходится раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Уверенная работа со знаками помогает избежать ошибок в более длинных преобразованиях.
Почему одночлены x и x² нельзя сложить?
У них разные буквенные части: в одном стоит x, а в другом x². Поэтому они не подобные, и складывать их коэффициенты нельзя. Выражение x + x² так и остаётся суммой двух слагаемых.
Как раскрыть скобки, если перед ними стоит минус?
Нужно поменять знак каждого слагаемого внутри скобок на противоположный. Например, −(a + 2b − 3) = −a − 2b + 3. После этого можно привести подобные одночлены.
Нужно ли заключать многочлены в скобки при сложении?
Скобки удобны, потому что помогают видеть границы каждого многочлена и не терять знаки. Если перед скобками стоит плюс, при раскрытии знаки слагаемых не меняются. В простых выражениях скобки можно опустить, если запись остаётся понятной.
Можно ли менять местами слагаемые многочлена?
Да, слагаемые можно переставлять и группировать: это следует из переместительного и сочетательного свойств сложения. Обычно так собирают рядом подобные одночлены. При перестановке важно сохранить знак каждого слагаемого.
Как проверить, что результат записан в стандартном виде?
Проверь, что каждый одночлен записан в стандартном виде, а подобные слагаемые объединены. Если многочлен содержит степени одной переменной, их обычно располагают по убыванию степеней. Убедись, что при раскрытии скобок знаки не потерялись.
§ 15. Сложение и вычитание многочленов
