§ 21. Сложение и вычитание многочленов

Определения и обозначения

Многочлен — выражение, состоящее из одночленов, соединённых знаками сложения и вычитания. Например, 2x² − 3x + 5 состоит из трёх слагаемых. Это понятие помогает увидеть, какие части выражения предстоит объединить при упрощении.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями степеней, например 4x² и −x². Их можно складывать или вычитать, потому что переменная в них одна и та же в одной и той же степени: меняется только числовой коэффициент. Слагаемые x² и x подобными не являются.

Сумма многочленов — результат сложения всех слагаемых обоих многочленов. Например, в выражении (x² + 2x) + (3x² − x) собраны слагаемые из обеих скобок. Это определение подсказывает первый шаг: записать всё слагаемые вместе, не теряя их знаков.

Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Вычитание второго многочлена равносильно прибавлению противоположного ему: каждое его слагаемое берётся с противоположным знаком. Это правило позволяет заменить вычитание сложением и затем действовать привычным способом.

Как это устроено

При сложении многочленов достаточно записать их слагаемые подряд: сложение объединяет все части обоих выражений, не меняя значения каждой части. Например, в (x² + 2x) + (3x² − x) остаются x², 2x, 3x² и −x. После этого удобно найти слагаемые одинакового вида и привести их, то есть сложить их коэффициенты. Неподобные слагаемые сохранить отдельно необходимо, потому что у них разные буквенные части или степени.

Если перед скобками стоит плюс, знаки внутри скобок сохраняются: прибавление выражения не меняет его слагаемые. Поэтому (a + b) + (c − d) можно записать как a + b + c − d. Плюс перед скобками означает, что всё содержимое берётся без изменений. Ошибка возникает, когда знак перед скобками по привычке считают командой поменять знаки; такое действие нужно только при вычитании.

При вычитании меняются знаки у каждого слагаемого вычитаемого, поскольку вместо вычитания прибавляют противоположный многочлен. Так, −(x² + 3x − 2) превращается в −x² − 3x + 2. Если поменять знак лишь у первого слагаемого, оставшаяся часть скобок не станет противоположным многочленом, и значение выражения изменится неверно. Поэтому после минуса мысленно распределяй его на каждое слагаемое.

Когда подобные слагаемые уже приведены, многочлен обычно записывают по убыванию степеней переменной. Сначала идут слагаемые с наибольшей степенью, затем с меньшей, а свободное число — в конце. Такой порядок не меняет значение выражения, но делает его наглядным: проще сравнивать многочлены и замечать пропущенные степени. Если некоторой степени нет, её слагаемое можно мысленно записать с коэффициентом 0.

Проверить результат можно подстановкой: выбери одно значение переменной и вычисли исходное выражение и полученный ответ. Значения должны совпасть, потому что преобразования не должны менять значение выражения. Например, при x = 1 подстановка позволяет быстро заметить многие ошибки со знаками или коэффициентами. Совпадение при одном числе не заменяет проверку всех шагов, но хорошо выявляет описки.

Правила сложения и вычитания многочленов

Пользуйся таблицей по порядку: сначала определи, выполняется сложение или вычитание, затем правильно раскрой скобки. После этого объедини только подобные слагаемые. В конце проверь порядок степеней и знаки ответа.

Разбор задач

Задача 1. Упростите выражение (3x² + 2x − 1) + (x² − 5x + 4).

1. Перед вторыми скобками стоит плюс, значит, знаки слагаемых не меняются. Запишем все части подряд: 3x² + 2x − 1 + x² − 5x + 4.
2. Найдём подобные слагаемые: 3x² и x², 2x и −5x, −1 и 4. Сгруппируем их, поскольку коэффициенты можно складывать только у слагаемых с одинаковой степенью переменной.
3. Вычислим: (3 + 1)x² + (2 − 5)x + (−1 + 4) = 4x² − 3x + 3. Слагаемые уже расположены по убыванию степеней.

Ответ: 4x² − 3x + 3.

Задача 2. Упростите выражение (5a² − 3a + 2) − (2a² + a − 6).

1. Перед вторыми скобками стоит минус, поэтому сначала изменим знаки всех трёх слагаемых внутри: −2a² − a + 6. Так вычитание заменяется прибавлением противоположного многочлена.
2. Уберём скобки и запишем выражение: 5a² − 3a + 2 − 2a² − a + 6. Объединим слагаемые с a², затем с a, затем числа.
3. Получим (5 − 2)a² + (−3 − 1)a + (2 + 6) = 3a² − 4a + 8. Степени записаны от большей к меньшей, так что дополнительная перестановка не требуется.

Ответ: 3a² − 4a + 8.

Задача 3. Найдите многочлен, который нужно вычесть из 4x³ − 2x² + 3x − 1, чтобы получить x³ + x² − 2x + 5.

1. Обозначим искомый многочлен буквой P. По условию из исходного многочлена вычитают P и получают заданный результат: (4x³ − 2x² + 3x − 1) − P = x³ + x² − 2x + 5.
2. Чтобы найти P, выразим его как разность исходного многочлена и полученного: P = (4x³ − 2x² + 3x − 1) − (x³ + x² − 2x + 5). Вторые скобки вычитаются целиком, поэтому поменяем знаки у всех их слагаемых.
3. Запишем: P = 4x³ − 2x² + 3x − 1 − x³ − x² + 2x − 5. Приведём подобные: (4 − 1)x³ + (−2 − 1)x² + (3 + 2)x + (−1 − 5) = 3x³ − 3x² + 5x − 6.

Ответ: 3x³ − 3x² + 5x − 6. Подстановка этого многочлена в исходное условие должна вернуть заданный результат; особенно внимательно здесь нужно проверить знаки после второго минуса.

Типичные ошибки

При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Обычно так происходит, если воспринимать минус как знак перед первым членом, а не перед всем многочленом. Проверка: выпиши противоположный многочлен отдельно и сравни знак каждого слагаемого с исходным.

Другая ошибка — складывать коэффициенты неподобных слагаемых, например считать x² + x равным 2x². Так поступают, когда смотрят только на числа и не сверяют буквенную часть. Проверь показатели степеней: если они различаются, слагаемые нужно оставить отдельно.

При записи столбиком можно потерять слагаемое, если в одном многочлене отсутствует какая-то степень. Это случается, когда сопоставляют члены только по порядку, а не по степени. Для проверки допиши пропущенную степень с коэффициентом 0 или выровняй все слагаемые по степеням.

Иногда считают, что плюс перед скобками меняет знаки слагаемых. Такая путаница возникает из-за похожей записи сложения и вычитания со скобками. Проверь знак перед скобками: при плюсе все знаки сохраняются, а при минусе меняется знак каждого слагаемого внутри.

Связь с другими темами

Чтобы складывать и вычитать многочлены, нужно уметь раскрывать скобки, работать с отрицательными числами и приводить подобные слагаемые. Эти навыки позволяют правильно менять знаки и объединять части выражения. Если правило знаков пока путается, полезно сначала отдельно потренироваться на числовых примерах.

Сложение и вычитание многочленов пригодятся дальше при умножении многочленов, преобразовании выражений и решении уравнений. Упрощённую запись легче сопоставить с другой частью равенства или использовать в следующем действии. Поэтому аккуратная работа со скобками и степенями нужна не только для отдельных примеров.

Что запомнить

• При сложении многочленов знаки слагаемых в скобках сохраняются.
• При вычитании многочлена противоположными становятся знаки всех его слагаемых.
• Складывать и вычитать можно только подобные слагаемые.
• После раскрытия скобок нужно привести подобные слагаемые.
• Ответ обычно записывают в порядке убывания степеней переменной.
• Подстановкой значения переменной можно проверить равенство исходного выражения и результата.