13. Сложение и вычитание многочленов

Определения и обозначения

Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Его слагаемые — части, разделённые знаками «+» или «−»: здесь это 3x², −2x и 5. Коэффициент — числовой множитель одночлена; коэффициенты этих членов равны 3, −2 и 5. Умение видеть слагаемые и их коэффициенты помогает правильно выполнять действия с многочленами.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 4x и −7x или 2ab и 5ab. Их коэффициенты могут быть разными: в первом примере это 4 и −7, но буквенная часть у обоих слагаемых — x. А вот x и x² не подобны, потому что степени переменной различаются. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие члены можно объединять.

Сумма многочленов — выражение, полученное при их сложении, например (x + 2) + (3x − 1). Скобки показывают, какие слагаемые входят в каждый многочлен, а знак «+» перед скобками означает, что выражение прибавляют целиком. Поэтому скобки можно раскрыть, не меняя знаки слагаемых: прибавляются все части исходного многочлена. Это позволяет затем собрать подобные члены.

Разность многочленов — выражение, полученное при вычитании одного многочлена из другого, например (3x + 4) − (x − 2). Скобки после знака «−» важны: знак относится ко всему многочлену, а не только к его первому слагаемому. При раскрытии скобок знаки всех его членов меняются на противоположные. Так запись сохраняет смысл вычитания всего выражения.

Как это устроено

Чтобы сложить многочлены, сначала записывают их сумму со скобками, а затем раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые. Такой порядок помогает не потерять ни один член и увидеть, какие из них можно объединить. Например, в сумме (3x + 2) + (x − 5) отдельно складываются члены с x и числа. Неподобные члены остаются в ответе самостоятельными.

Если перед скобками стоит знак «+», знаки слагаемых не меняются. Прибавить выражение — значит добавить к имеющимся слагаемым все его части с исходными знаками. Например, (x + 2) + (3x − 1) превращается в x + 2 + 3x − 1. После раскрытия скобок можно сгруппировать члены одного вида, не меняя значение выражения.

При вычитании многочлена нужно поменять знаки всех слагаемых внутри скобок. Причина в том, что вычитание выражения равносильно прибавлению противоположного: противоположное к сумме получается, когда противоположным становится каждое слагаемое. Так, −(2x + 3) означает −2x − 3, а −(2x − 3) означает −2x + 3. Скобки помогают увидеть, к каким именно членам относится знак минус.

После раскрытия скобок сгруппируй подобные слагаемые и сложи их коэффициенты, сохраняя буквенную часть. Например, 6y − 2y = (6 − 2)y = 4y, а 3ab + 5ab = 8ab. Такой приём работает потому, что складываются одинаковые части выражения, отличающиеся только числовым множителем. Если буквенные части различны, коэффициенты отдельно не объединяют.

Ответ обычно записывают в стандартном виде: подобные слагаемые уже объединены, а оставшиеся члены расположены по убыванию степеней. Это не меняет значение многочлена, но помогает быстро прочитать его и проверить вычисления. Например, результат с членами x², x и числом удобно записать именно в порядке x², x, число. Перед записью ответа проверь, что подобных членов больше не осталось.

Правила раскрытия скобок при действиях с многочленами

Пользуйся таблицей в два приёма: сначала определи знак перед скобками и правильно раскрой их, затем найди подобные слагаемые. Пример в последней строке показывает, что при объединении меняется числовой коэффициент, а буквенная часть остаётся прежней.

Разбор задач

Упростите выражение: (3x + 2) + (x − 5).

1. Перед вторыми скобками стоит «+», поэтому знаки их слагаемых сохраняем. Получаем 3x + 2 + x − 5.
2. Группируем подобные слагаемые: члены с x и числа. Тогда имеем (3x + x) + (2 − 5).
3. Складываем коэффициенты при x и отдельно числа: 3x + x = 4x, 2 − 5 = −3.

Ответ: 4x − 3. Раздельное сложение членов с одинаковой буквенной частью не позволяет случайно объединить x с числом.

Упростите выражение: (5a² − 3a + 1) − (2a² + a − 4).

1. Вычитаем весь второй многочлен, поэтому меняем знаки всех его слагаемых: 5a² − 3a + 1 − 2a² − a + 4.
2. Группируем подобные: (5a² − 2a²) + (−3a − a) + (1 + 4). Члены с разными буквенными частями или степенями остаются в отдельных группах.
3. Вычисляем коэффициенты: 5 − 2 = 3, −3 − 1 = −4, 1 + 4 = 5. Записываем результат в порядке убывания степеней.

Ответ: 3a² − 4a + 5. Проверка знаков особенно важна у членов −3a и −4: после вычитания второго многочлена они превращаются в −a и +4 соответственно.

Упростите выражение: (2x² − 3xy + y²) − (x² + 2xy − 4y²) + (3x² − xy − 2y²).

1. Раскрываем скобки. У среднего многочлена меняем все знаки, а у последнего сохраняем: 2x² − 3xy + y² − x² − 2xy + 4y² + 3x² − xy − 2y².
2. Собираем отдельно члены с x², с xy и с y²: (2x² − x² + 3x²) + (−3xy − 2xy − xy) + (y² + 4y² − 2y²).
3. Складываем коэффициенты в каждой группе: 2 − 1 + 3 = 4; −3 − 2 − 1 = −6; 1 + 4 − 2 = 3. Буквенные части оставляем без изменений.

Ответ: 4x² − 6xy + 3y². Здесь важно не смешивать x², xy и y²: даже если в них встречаются одни и те же буквы, буквенные части у них разные.

Типичные ошибки

При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Так происходит, когда минус воспринимают как относящийся к одному члену, хотя он стоит перед всем многочленом. Чтобы проверить себя, поставь перед каждым слагаемым скобок знак «−» и измени его знак. Например, −(a + b − c) = −a − b + c.

При сложении могут по ошибке поменять знаки в скобках после «+». Обычно путают плюс перед скобками с правилом раскрытия скобок после минуса. Проверь запись обратным действием: прибавляемые члены должны остаться с исходными знаками, например +(x − 3) = x − 3. Если знак изменился, значит, правило применено неверно.

Ещё одна ошибка — складывать коэффициенты у неподобных слагаемых, например считать x + x² равным 2x². Так делают, замечая одинаковую переменную, но не учитывая её степень. Перед объединением сравни всю буквенную часть: x и x² различаются, поэтому остаются отдельными. Можно мысленно записать их как 1x и 1x² — различие становится заметнее.

При приведении подобных слагаемых иногда теряют буквенную часть или неверно складывают коэффициенты. Например, из 2ab + 5ab нельзя получить 7, а из 2ab − 5ab нельзя получить 3ab. Проверяй вычисление отдельно: сначала посчитай коэффициенты с их знаками, затем допиши общую буквенную часть. Полезно также подставить число вместо переменной и убедиться, что исходное выражение и ответ дают одно значение.

Связь с другими темами

Для сложения и вычитания многочленов нужны навыки, изученные раньше: раскрытие скобок, действия с положительными и отрицательными числами и распознавание подобных слагаемых. Если уверенно пользоваться этими правилами, преобразование многочлена сводится к последовательным шагам. При сомнении в знаке можно отдельно проверить арифметическую часть вычисления.

Упрощать многочлены приходится и при умножении многочленов: после умножения одночленов обычно возникают слагаемые, которые можно привести. Это умение также помогает сокращать запись и разбирать более сложные алгебраические выражения. Приведение подобных слагаемых делает выражение понятнее и удобнее для следующих вычислений.

Что запомнить

• Слагаемые многочленов можно складывать и вычитать, приводя подобные.
• Перед скобками со знаком «+» знаки слагаемых не меняются.
• Перед скобками со знаком «−» знаки всех слагаемых меняются на противоположные.
• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
• При приведении подобных слагаемых складывают или вычитают их коэффициенты.
• Ответ удобно записывать в стандартном виде.