§ 25. Сложение и вычитание многочленов

Определения и обозначения

Многочлен — выражение, состоящее из одночленов, соединённых знаками сложения и вычитания, например 3x² − 2x + 5. Одночленом называют произведение чисел и букв в неотрицательных целых степенях. Представление в виде многочлена помогает выполнять действия с выражениями по понятным правилам.

Подобные члены — одночлены с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями степеней, например 4x² и −x². У них может отличаться числовой коэффициент — число перед буквами. Подобные члены можно объединить: складывают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют прежней.

Сумма многочленов — результат их сложения. Чтобы её получить, раскрывают скобки, не меняя знаков слагаемых, и приводят подобные члены. Так выражение становится короче и его проще использовать в следующих вычислениях.

Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. При раскрытии скобок перед вычитаемым меняют знаки всех его членов, а затем приводят подобные. Это позволяет заменить вычитание сложением противоположного многочлена и не потерять ни один знак.

Как это устроено

Многочлен удобно записывать в стандартном виде, располагая одночлены по степеням переменной, например от большей к меньшей: 2x³ − x + 4. При таком порядке одинаковые степени заметнее, поэтому легче найти члены, которые можно объединить. Если в выражении несколько переменных, сравнивают буквенную часть целиком и показатели каждой переменной.

При сложении сначала убирают скобки, сохраняя знак каждого слагаемого. Например, в выражении (2x + 3) + (x − 1) второй многочлен присоединяется без изменений: 2x + 3 + x − 1. Затем отдельно собирают подобные члены, потому что только у них совпадает буквенная часть, и складывают их коэффициенты.

При вычитании знаки всех членов вычитаемого меняются, потому что вычитание можно заменить сложением числа, противоположного вычитаемому. Например, противоположный многочлен для x² + 2x − 3 — это −x² − 2x + 3. Если поменять знак только у части членов, получится уже другой многочлен и исходное вычитание будет выполнено неверно.

Практически это правило выглядит так: минус перед скобками заменяет знак каждого члена внутри на противоположный. Поэтому −(a² + 2a − 6) превращается в −a² − 2a + 6. Удобно представить, что минус умножает каждое слагаемое в скобках на −1; тогда перемена знаков становится понятной для всех членов, а не только для первого.

После сложения или вычитания раскрытые выражения содержат члены, которые можно объединить. Приведение подобных членов уменьшает число слагаемых и даёт упрощённую запись многочлена. Если коэффициенты взаимно уничтожаются, например 3x − 3x, результат равен нулю и такой член в ответе не нужен.

Правила сложения и вычитания многочленов

Сначала определите, какое действие стоит перед каждой парой скобок, и раскройте их по соответствующему правилу. Затем сгруппируйте члены с одинаковой буквенной частью и степенями. Таблица помогает проверить, не забыли ли вы изменить знаки именно при вычитании.

Разбор задач

Упростите: (3x + 2) + (x − 5). Перед вторыми скобками стоит плюс, поэтому их знаки сохраняются. После раскрытия скобок можно сгруппировать слагаемые с x и числа отдельно.

1. Убираем скобки: 3x + 2 + x − 5.
2. Собираем подобные: 3x + x = 4x, а 2 − 5 = −3.
3. Записываем результат: 4x − 3.

Ответ: 4x − 3.

Упростите: (4a² − 3a + 1) − (a² + 2a − 6). Здесь вычитается весь второй многочлен, значит, знак перед скобками нужно учесть для каждого его члена. После этого сравним степени и буквенную часть, чтобы объединить только подходящие слагаемые.

1. Раскрываем первые скобки и меняем знаки всех членов вторых: 4a² − 3a + 1 − a² − 2a + 6.
2. Объединяем члены с a²: 4a² − a² = 3a²; с a: −3a − 2a = −5a.
3. Складываем числа: 1 + 6 = 7, затем записываем многочлен по степеням.

Ответ: 3a² − 5a + 7.

Найдите значение выражения (2x² − 3x + 4) − (x² + 5x − 2) + (3x² − x − 1) при x = −2. Сначала объединим многочлены: так вычисления с переменной будут короче. После упрощения подставим −2 вместо x и соблюдём порядок действий.

1. Раскрываем скобки: 2x² − 3x + 4 − x² − 5x + 2 + 3x² − x − 1.
2. Приводим подобные: (2 − 1 + 3)x² + (−3 − 5 − 1)x + (4 + 2 − 1) = 4x² − 9x + 5.
3. Подставляем x = −2: 4 · (−2)² − 9 · (−2) + 5 = 16 + 18 + 5 = 39.

Ответ: 39.

Типичные ошибки

При сложении иногда меняют знаки членов второго многочлена, хотя перед его скобками стоит плюс. Это происходит, если правило для вычитания применяют автоматически к любым скобкам. Проверьте знак перед скобками: при плюсе каждый знак внутри остаётся прежним.

При вычитании могут изменить знак только у первого члена в скобках. Минус относится ко всему вычитаемому многочлену, поэтому такой результат неверен. Для проверки раскройте скобки по одному члену за раз и убедитесь, что знак поменялся у каждого.

Нельзя складывать коэффициенты у неподобных членов, например считать 2x + 3x² равным 5x³ или 5x. Так ошибаются, принимая любые одночлены за похожие. Сравните буквенную часть и показатели степеней: объединяйте только полностью совпадающие части.

Ошибки со знаками возникают и при сложении коэффициентов: например, −3x − 2x нельзя превратить в 5x. Сначала выпишите раскрытые скобки, затем сложите коэффициенты как числа с их знаками. Проверить результат можно обратной подстановкой любого значения переменной в исходное и упрощённое выражения.

Связь с другими темами

Перед сложением и вычитанием многочленов нужно уметь раскрывать скобки, выполнять действия с одночленами и приводить подобные слагаемые. Эти навыки помогают следить за знаками и находить части выражения, которые можно объединить. Если один из шагов пока вызывает трудности, разберите его отдельно на простых числовых примерах.

Упрощение многочленов понадобится при их умножении, где также раскрывают скобки и собирают подобные члены. Оно помогает преобразовывать алгебраические выражения и решать уравнения, приводя их к более удобному виду. Поэтому аккуратная работа со знаками становится основой для многих следующих тем.

Что запомнить

• При сложении многочленов знаки членов сохраняются.
• При вычитании многочлена меняется знак каждого его члена.
• После раскрытия скобок нужно привести подобные члены.
• Складывать можно только подобные члены.
• Нулевые члены можно не записывать.
• Результат удобно записывать в стандартном виде.