"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Многочлены складывают, вычитают и умножают, чтобы преобразовывать алгебраические выражения и готовить их к решению задач. При сложении раскрывают скобки, сохраняя знаки, а при вычитании меняют знаки всех слагаемых второго многочлена. При умножении каждый одночлен одного многочлена перемножают с каждым одночленом другого. В конце приводят подобные слагаемые и записывают ответ в стандартном виде.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 2x + 1. Одночлены могут быть подобными: у них одинаковая буквенная часть и одинаковые показатели степеней, но коэффициенты могут различаться. Запись, в которой подобные слагаемые уже объединены, называют стандартным видом многочлена. Такой вид помогает сразу увидеть, какие слагаемые можно сложить.
Сумма многочленов — многочлен, полученный при сложении двух или нескольких многочленов. Если после раскрытия скобок встретились подобные слагаемые, их можно привести, то есть сложить или вычесть их коэффициенты. Например, слагаемые 3x и 5x дают 8x. Это упрощает запись и помогает не считать одинаковые части выражения по отдельности.
Разность многочленов — сумма первого многочлена и многочлена, противоположного второму. Противоположный многочлен получают, заменяя знак каждого его слагаемого на противоположный. Поэтому разность можно записать как сумму, и это правило объясняет, почему при раскрытии скобок после минуса меняются все знаки. Оно помогает аккуратно выполнять вычитание длинных выражений.
Произведение многочленов — результат умножения каждого одночлена одного многочлена на каждый одночлен другого. Например, если в первом многочлене два одночлена, а во втором три, нужно выполнить шесть умножений. Такое определение позволяет не пропустить ни одной пары слагаемых. После умножения полученные одночлены складывают, если они подобны.
При сложении раскрывают скобки, сохраняя знаки слагаемых: перед скобками стоит знак плюс, поэтому каждое слагаемое остаётся тем же. Затем ищут подобные одночлены и объединяют их коэффициенты. Например, слагаемые с x² складывают отдельно от слагаемых с x и чисел без переменной. Так выражение становится короче, но его значение не меняется.
При вычитании многочлена удобно представить действие как прибавление противоположного многочлена. Для этого перед скобками ставят минус и при раскрытии меняют знак каждого слагаемого внутри: плюс становится минусом, а минус — плюсом. Если изменить знак только у первого слагаемого, получится уже другое выражение. После раскрытия скобок подобные слагаемые приводят обычным способом.
Умножение многочленов основано на распределительном свойстве: множитель перед скобками действует на каждый член внутри. Когда оба множителя являются многочленами, это правило применяют несколько раз, пока не будут перемножены все пары одночленов. Например, в произведении (a + b)(c + d) возникают ac, ad, bc и bd. Порядок пар можно выбирать, но пропустить одну из них нельзя.
Чтобы перемножить одночлены, отдельно умножают их числовые коэффициенты и буквенные части. Если переменная повторяется, показатели её степеней складывают: x² · x³ = x⁵, потому что вместе получается пять множителей x. Переменные с разными буквами записывают рядом, например x² · y = x²y. Правило сложения показателей относится только к степеням с одинаковым основанием.
После выполнения сложения, вычитания или умножения приводят подобные слагаемые. Для этого проверяют, совпадают ли переменные и их показатели, и только тогда складывают коэффициенты. Затем многочлен записывают в стандартном виде, обычно располагая степени одной переменной по убыванию. Этот последний шаг делает результат удобным для проверки и дальнейших преобразований.
| Действие | Как выполнить | Что сделать в конце |
|---|---|---|
| Сложение многочленов | Раскрыть скобки, сохранив знаки слагаемых | Привести подобные и записать стандартный вид |
| Вычитание многочленов | Раскрыть скобки, изменив знаки всех слагаемых вычитаемого | Привести подобные и записать стандартный вид |
| Умножение многочлена на одночлен | Умножить одночлен на каждый член многочлена | Привести подобные и записать стандартный вид |
| Умножение многочлена на многочлен | Перемножить каждый член первого многочлена с каждым членом второго | Привести подобные и записать стандартный вид |
| Приведение результата | Объединить подобные одночлены | Записать многочлен в стандартном виде |
Сначала найди в таблице нужное действие, а затем выполни его по шагам из второго столбца. Последний столбец напоминает, что преобразование не заканчивается раскрытием скобок: результат нужно упростить. Перед записью ответа проверь знаки и подобные слагаемые.
Упростим выражение: (3x² − 2x + 1) + (x² + 5x − 4). Перед второй скобкой стоит плюс, поэтому её слагаемые сохраняют знаки. Чтобы не смешивать разные части выражения, сначала соберём отдельно члены с x², с x и числа.
Ответ: 4x² + 3x − 3. Все одночлены в ответе имеют разные буквенные части или показатели, поэтому дальше их объединить нельзя. Запись уже приведена к стандартному виду.
Упростим выражение: (4a² − 3a + 2) − (a² + 2a − 5). Минус перед второй скобкой означает, что нужно прибавить противоположный многочлен. Поэтому меняем знаки у всех трёх слагаемых, а не только у первого, и лишь потом собираем подобные.
Ответ: 3a² − 5a + 7. Проверить знаки помогает обратное действие: если к результату прибавить вычитаемый многочлен, должен получиться первый. Такая проверка особенно полезна, когда внутри скобок были и плюсы, и минусы.
Упростим выражение: (2x − 3)(x² + 4x − 1). В первом многочлене два одночлена, во втором три, значит, должно получиться шесть произведений. Умножим сначала 2x на каждый член второй скобки, затем −3 на каждый её член.
Ответ: 2x³ + 5x² − 14x + 3. При умножении степеней x · x² получаем x³, а при перемножении чисел учитываем знаки. В конце складываем коэффициенты только у одинаковых степеней x.
При раскрытии скобок после минуса иногда меняют знак только у первого слагаемого. Обычно это происходит потому, что минус воспринимают как действие только с ближайшим членом, хотя он относится ко всей скобке. Проверь каждое слагаемое отдельно: после раскрытия все знаки внутри должны стать противоположными. Например, −(a² + 2a − 5) = −a² − 2a + 5.
При умножении многочленов можно умножить не все пары одночленов, особенно если скобки длинные. Чтобы проверить себя, посчитай число пар: если в скобках два и три одночлена, должно быть шесть произведений. Удобно умножать каждый член первого многочлена на всю вторую скобку и отмечать уже выполненные слагаемые. Так ни одна пара не останется без произведения.
Ещё одна ошибка — перемножить показатели степеней одинакового основания, например принять x² · x³ за x⁶. Показатель показывает число множителей, поэтому при соединении двух групп одинаковых переменных их количество складывается: x² · x³ = x⁵. Проверь ответ, раскрыв степени как произведение множителей. Если получилось пять букв x, верный показатель — 5.
Нельзя складывать или вычитать неподобные одночлены: например, 2x² и 3x нельзя заменить на 5x² или 5x. Их буквенные части различаются показателями, поэтому объединять можно только коэффициенты при одинаковой буквенной части. Чтобы проверить себя, сравни переменные и показатели перед тем, как складывать числа. Если хотя бы один показатель отличается, оставь слагаемые раздельно.
Для действий с многочленами нужны знания об одночленах и о том, как распознавать подобные слагаемые: без этого нельзя правильно умножать и приводить выражения. Раскрытие скобок опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения, а вычитание — на правило смены знаков. Освоенные преобразования пригодятся при упрощении выражений и решении уравнений. Позже они помогут работать с формулами сокращённого умножения, где произведения многочленов записывают короче.
Почему при вычитании многочлена меняются знаки всех его слагаемых?
Вычесть многочлен — значит прибавить противоположный ему многочлен. Противоположный многочлен получается заменой знака у каждого слагаемого, поэтому минус перед скобками меняет все знаки внутри.
Можно ли складывать одночлены с разными степенями одной переменной?
Нет, такие одночлены не являются подобными. Например, 2x² и 3x имеют разные буквенные части, поэтому их можно оставить только в виде суммы 2x² + 3x.
В каком порядке умножать многочлены?
Можно выбрать любой удобный порядок, но каждый одночлен первого многочлена нужно умножить на каждый одночлен второго. Затем полученные слагаемые собирают и приводят подобные.
Что делать, если после умножения получились подобные одночлены?
Сложить или вычесть их коэффициенты, сохранив общую буквенную часть. Например, 4x² − x² = 3x².
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают?
Степень показывает, сколько одинаковых множителей записано. При умножении степени a² на a³ получается пять множителей a, то есть a⁵; поэтому показатели складывают.
§ 6. Сумма, разность и произведение многочленов
