"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Многочлен — это сумма одночленов, а его стандартный вид помогает записать выражение коротко и понятно. Чтобы получить такую запись, каждый одночлен приводят к стандартному виду, раскрывают скобки и объединяют подобные слагаемые — те, у которых совпадает буквенная часть. Члены многочлена можно расположить по убыванию степеней. Степень многочлена определяют по самому старшему одночлену уже после приведения подобных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 4x и −2x подобны, хотя их числовые коэффициенты 4 и −2 различаются. Сравнивать нужно именно буквенную часть, включая показатели степеней: 3a² и 5a² подобны, а 3a и 5a² — нет. Это понятие нужно, чтобы понять, какие части выражения можно объединить.
Многочлен — это сумма одночленов, например 2x² − 3x + 1. Знак вычитания можно понимать как сложение с противоположным одночленом: 2x² − 3x + 1 = 2x² + (−3x) + 1. Поэтому многочлен удобно рассматривать как выражение, состоящее из слагаемых со своими знаками. Такое представление помогает раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые.
Стандартный вид многочлена — сумма одночленов, каждый из которых записан в стандартном виде, причём подобных слагаемых в сумме нет. Например, 3x² + 2x − 1 записан стандартно, а 2x + 3x − 1 — ещё нет: первые два слагаемых подобны. Чтобы получить стандартный вид, сначала приводят к стандартному виду отдельные одночлены, а затем объединяют подобные. Такая запись показывает состав многочлена без повторяющихся однотипных слагаемых.
Степень многочлена стандартного вида — наибольшая степень одночлена, который в него входит. В записи 4x³ − 2x + 7 степени одночленов равны 3, 1 и 0, поэтому степень многочлена равна 3. Если переменных несколько, степень одночлена находят сложением показателей этих переменных, а затем выбирают наибольший результат. Определять степень нужно по окончательной записи, когда подобные слагаемые уже приведены.
Перед приведением многочлена к стандартному виду каждый одночлен сначала упрощают. Числовые множители перемножают, а буквенную часть записывают упорядоченно, чтобы одинаковые переменные и их степени было легко сравнивать. Например, 2 · a · 3 · a² можно записать как 6a³: числовые множители дают 6, а степени одинаковой буквы складываются при умножении. Если не упростить одночлены заранее, можно не заметить, какие из них подобны.
Скобки раскрывают, чтобы представить выражение как сумму отдельных одночленов. Если перед скобками стоит число, каждый член в скобках умножают на это число; если стоит минус, каждый член умножают на −1 и меняют его знак. Например, −(x² − 4x + 3) = −x² + 4x − 3. Так все слагаемые оказываются в одной записи, где их можно сравнивать и группировать.
Подобные слагаемые заменяют одним, потому что у них одинаковая буквенная часть и различается только число таких частей. Например, 3x + 2x — это три x и ещё две x, то есть пять x: 3x + 2x = 5x. При вычитании действуют так же: 7a − 4a = 3a. Коэффициенты складывают с учётом знаков, а буквенную часть не меняют.
После приведения подобных слагаемых записывают полученные одночлены без повторов. Для удобства их часто располагают по убыванию степеней: сначала слагаемое с наибольшей степенью, затем с меньшими степенями и свободный член. Например, 2 + 3x² − x можно записать как 3x² − x + 2. Такая сортировка делает запись привычной и облегчает сравнение многочленов, хотя стандартный вид сам по себе не требует именно такого порядка.
Степень находят по одночлену наибольшей степени в уже приведённой записи. Нельзя выбирать старший член до объединения подобных: коэффициенты при одинаковой буквенной части могут сократиться. Например, 2x³ − 2x³ + x² после приведения превращается в x², поэтому степень многочлена равна 2, а не 3. Именно поэтому определение степени — последний шаг после упрощения выражения.
| Этап | Что сделать | Пример |
|---|---|---|
| Запись одночленов | Упростить числовые множители и упорядочить буквенную часть. | 2 · x · 3 · x² = 6x³ |
| Раскрытие скобок | Умножить каждый член в скобках на множитель перед ними; при минусе изменить знаки всех членов. | −(x² − 2x + 1) = −x² + 2x − 1 |
| Приведение подобных слагаемых | Сложить коэффициенты с одинаковой буквенной частью. | 4x − x = 3x |
| Запись результата без подобных членов | Оставить по одному слагаемому каждого вида; при желании расположить их по убыванию степеней. | 2 + 3x² − x = 3x² − x + 2 |
| Определение степени многочлена | Найти наибольшую степень одночлена после приведения подобных. | 3x² − x + 2 имеет степень 2 |
Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему этапу, когда закончил предыдущий. Особенно внимательно раскрывай скобки со знаком минус, а степень определяй только по итоговой записи. Порядок слагаемых по убыванию степеней помогает проверить результат, но не заменяет приведение подобных.
Задача 1. Приведите к стандартному виду 3a + 2a. Здесь оба слагаемых содержат одинаковую буквенную часть a, значит, их можно объединить. Складываем коэффициенты и оставляем букву без изменений.
Ответ: 5a.
Задача 2. Приведите к стандартному виду 4x² − 3x + 2x² + 5x − 1. Сначала выделяем слагаемые с одинаковой буквенной частью: отдельно члены с x², отдельно с x. Число −1 не имеет буквенной части и остаётся свободным членом.
Ответ: 6x² + 2x − 1. Порядок по убыванию степеней уже соблюдён: сначала стоит член со степенью 2, затем со степенью 1 и свободный член.
Задача 3. Приведите к стандартному виду 2x(3x − 1) − (x² − 4x + 3) и укажите степень полученного многочлена. Здесь важно раскрыть обе скобки, а перед второй скобкой учесть минус. После этого можно объединить слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Ответ: 5x² + 2x − 3; степень многочлена — 2.
Ошибка: складывать слагаемые с разными буквенными частями, например x и x². Их могут принять за подобные, потому что в обоих есть буква x, но показатели степеней различаются. Такие слагаемые нельзя объединить, их оставляют отдельно. Проверка: сравни всю буквенную часть вместе с показателями, а не только буквы.
Ошибка: при приведении подобных слагаемых менять буквенную часть или складывать показатели. Например, 3x + 2x — это 5x, а не 5x² и не 5x³. Ошибка возникает, когда сложение слагаемых путают с умножением одночленов. Проверяй себя: при сложении подобных коэффициенты меняются, а буквенная часть сохраняется.
Ошибка: раскрывая скобки после знака минус, изменить знак только у первого слагаемого. Минус относится ко всей скобке, то есть каждое слагаемое умножается на −1. Например, −(x² − 4x + 3) = −x² + 4x − 3. Для проверки поставь перед каждым членом множитель −1 и измени каждый знак.
Ошибка: определять степень многочлена до приведения подобных слагаемых. Так можно назвать старшей степень члена, который позже сократится с другим таким же членом. Сначала собери все подобные, затем найди наибольшую степень оставшегося одночлена. Проверка: в итоговой записи не должно быть слагаемых, которые ещё можно объединить.
Для работы со стандартным видом нужно уметь узнавать одночлены, записывать их стандартно и находить их степень. Также пригодятся раскрытие скобок и действия с положительными и отрицательными числами: без них легко ошибиться в знаках при упрощении выражения. Эти навыки соединяются в одну последовательность действий при приведении многочлена.
Стандартная запись нужна не только для упрощения выражений. Она помогает складывать и вычитать многочлены, а при умножении — группировать получившиеся слагаемые. Приведение подобных также часто встречается при преобразовании выражений в ходе решения уравнений.
Какие слагаемые называются подобными?
Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть: например, 3x и −5x или 2a²b и 7a²b. Их числовые коэффициенты могут быть разными.
Можно ли складывать x и x²?
Нет, эти слагаемые не являются подобными: у них разные буквенные части. Их можно оставить в одном многочлене, но объединить в одно слагаемое нельзя.
Что делать с минусом перед скобками?
Минус перед скобками означает, что всё выражение в скобках нужно умножить на −1. Поэтому знак каждого слагаемого внутри меняется на противоположный.
Нужно ли обязательно записывать члены многочлена по убыванию степеней?
Нет, это не обязательно: главное, чтобы в записи не оставалось подобных слагаемых и каждый одночлен был записан стандартно. Но порядок по убыванию степеней помогает быстрее увидеть степень многочлена.
Как определить степень многочлена, если старшие члены сокращаются?
Сначала нужно привести подобные слагаемые и только потом определять степень. Если слагаемые наибольшей степени взаимно уничтожились, степень задаёт оставшийся одночлен с наибольшей степенью.
12. Стандартный вид многочлена
