11. Многочлен. Вычисление значений многочленов

Определения и обозначения

Многочлен — сумма одночленов, записанных со знаками плюс или минус. Например, 3x² + 2x − 5 состоит из трёх одночленов. Такое выражение позволяет объединить несколько слагаемых в одну запись.

Член многочлена — каждый одночлен, из которых составлена эта сумма. В выражении 3x² + 2x − 5 членами являются 3x², 2x и −5. Знак перед членом показывает, прибавляют его или вычитают.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой одночлены приведены к стандартному виду, а подобные члены собраны. Подобными называют одночлены с одинаковой буквенной частью, например 4x и −x. Такая запись нужна, чтобы не считать одинаковые слагаемые по отдельности.

Степень многочлена — наибольшая степень входящей в него переменной после приведения подобных членов. Например, в многочлене x³ + 2x − 1 наибольшая степень переменной x равна 3. Это число помогает кратко описать многочлен и сравнивать выражения.

Как это устроено

Многочлен получается, когда одночлены соединяют сложением или вычитанием. Например, 2x² + 3x − 4 — сумма одночленов 2x², 3x и −4, причём последний член вычитается. Вычитание можно представить как сложение противоположного одночлена: 3x − 4 = 3x + (−4). Такая запись помогает видеть все члены многочлена и правильно учитывать их знаки.

Чтобы получить стандартный вид, сначала упрощают отдельные одночлены, если это нужно, а затем объединяют подобные. Например, 4x + 2x можно заменить на 6x, потому что у обоих слагаемых одинаковая буквенная часть x. Складывают только коэффициенты: 4 + 2 = 6, а букву сохраняют. Благодаря этому вместо нескольких повторяющихся слагаемых остаётся одно, и выражение становится короче и удобнее для вычислений.

Степень многочлена определяют после того, как подобные члены собраны. Иначе можно принять за отдельные члены слагаемые, которые при упрощении объединятся или исчезнут. Например, в выражении x² + 3x³ − 2x² сначала собирают члены с x²: получается 3x³ − x². Теперь видно, что наибольшая степень переменной — 3, значит, степень многочлена равна 3.

Значение многочлена при заданном значении переменной находят подстановкой. Если требуется вычислить 2x² − 3x + 1 при x = 2, вместо каждого x записывают число 2, а затем считают полученное числовое выражение. Подстановка превращает выражение с переменной в конкретное число. Поэтому результат зависит от того, какое значение переменной задано.

Отрицательное значение при подстановке заключают в скобки, чтобы было понятно, что именно оно заменяет переменную. Например, если x = −2, то x² записывают как (−2)²; это равно 4, а не −4. После подстановки сначала выполняют возведение в степень и умножение, а затем сложение и вычитание. Скобки помогают сохранить правильный знак числа и избежать ошибки при вычислении.

Основные сведения о многочлене

Сначала найдите в таблице нужное понятие, затем сверьте способ определения с примером. При упрощении отдельно проверяйте, какие члены подобны и какие знаки перед ними стоят. Для вычисления значения подставляйте число во все вхождения переменной.

Разбор задач

Задача 1. Приведите многочлен 4x − 3 + 2x + 5 к стандартному виду и укажите его степень.

1. Рассмотрим буквенные и числовые члены отдельно: 4x и 2x подобны, потому что у них одинаковая буквенная часть; числа −3 и 5 тоже можно объединить.
2. Сложим коэффициенты при x и сохраним букву: 4x + 2x = 6x. Для числовых членов получим −3 + 5 = 2.
3. Запишем результат: 6x + 2. Наибольшая степень переменной здесь равна 1, поэтому степень многочлена — 1.

Ответ: 6x + 2; степень 1.

Задача 2. Найдите значение многочлена 2x² − 3x + 1 при x = 2.

1. Заменим каждую переменную x числом 2: 2 · 2² − 3 · 2 + 1. Сначала записываем подстановку, чтобы не пропустить ни один член.
2. Выполним возведение в степень: 2 · 4 − 3 · 2 + 1. Затем посчитаем умножение: 8 − 6 + 1.
3. Вычислим по порядку слева направо: 8 − 6 + 1 = 2 + 1 = 3. Слагаемое 1 в исходном многочлене тоже учитывается.

Ответ: 3.

Задача 3. Найдите значение многочлена x³ − 2x² + 3x − 4 при x = −2.

1. Подставим −2 вместо каждого x и заключим число в скобки: (−2)³ − 2 · (−2)² + 3 · (−2) − 4. Скобки показывают, что переменную заменяет всё отрицательное число.
2. Вычислим степени: (−2)³ = −8, а (−2)² = 4. Получим −8 − 2 · 4 + 3 · (−2) − 4.
3. Выполним умножение: −8 − 8 − 6 − 4. Сложим отрицательные числа: −8 − 8 − 6 − 4 = −26.

Ответ: −26.

Типичные ошибки

Степенью многочлена иногда называют степень любого выбранного одночлена, например первого в записи. Но степенью многочлена является наибольшая степень переменной после приведения подобных членов. Ошибка возникает, если не сравнить все члены; проверяйте их степени уже в стандартном виде.

При приведении подобных членов можно сложить коэффициенты и забыть сохранить буквенную часть. Например, 4x + 2x — это 6x, а не 6. Ошибка появляется, когда правило сложения коэффициентов применяют отдельно от исходных одночленов; после вычисления проверьте, что общая буквенная часть осталась.

Если подставить отрицательное число без скобок, легко неверно вычислить степень: −2² означает −4, а (−2)² равно 4. Причина — знак минус без скобок может относиться не к основанию степени, а ко всему результату. Перед вычислением заключайте отрицательное значение в скобки и сначала считайте степени.

Знаки членов многочлена особенно легко перепутать, если выражение записано с вычитанием или перед скобками стоит минус. Например, −(x − 3) = −x + 3: знак меняется у каждого члена в скобках. Ошибка возникает, когда минус относят только к первому слагаемому; проверяйте раскрытие скобок по каждому члену отдельно.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно работать с многочленами, нужно узнавать одночлены, приводить их к стандартному виду и находить их степень. Эти умения нужны, чтобы правильно назвать члены выражения и не объединять слагаемые, которые не являются подобными. Если одночлен упрощён неверно, ошибочным может стать и весь многочлен.

При упрощении многочлена используются правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Они помогают раскрывать выражения, сохранять знаки и собирать члены с одинаковой буквенной частью. Поэтому полезно сначала проверить, как распределяются знаки при раскрытии скобок.

Вычисление значений многочленов пригодится при решении уравнений и при изучении функций, заданных многочленами. Подстановка позволяет проверить, какое значение выражения соответствует выбранному значению переменной. Это связывает алгебраическую запись с конкретными числовыми результатами.

Что запомнить

• Многочлен состоит из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания.
• Стандартный вид получают, приводя одночлены к стандартному виду и собирая подобные члены.
• Степень многочлена определяют после приведения подобных членов.
• Чтобы найти значение многочлена, подставляют вместо переменной заданное число.
• Отрицательное значение переменной при подстановке записывают в скобках.
• При вычислениях соблюдают порядок действий и внимательно учитывают знаки.