"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 5x + 7. Чтобы удобнее выполнять действия с многочленами, раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и записывают одночлены по убыванию степеней переменной. Такая упорядоченная запись называется стандартным видом. Степень многочлена определяют по самому большому показателю после упрощения, поэтому сначала важно объединить подобные слагаемые: старшие слагаемые могут уничтожиться, и степень станет меньше.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — сумма одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, в выражении 3x² − 5x + 7 три слагаемых: 3x², −5x и 7. Каждое сохраняет свой коэффициент — числовой множитель — и свою буквенную часть, пока слагаемые не окажутся подобными.
Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные слагаемые уже приведены, а одночлены расположены по убыванию степеней переменной. Например, 4x³ − x² + 2x − 6 записан в стандартном виде: степени x идут от 3 к 0. Такая запись помогает быстро увидеть состав многочлена и определить его старший член.
Степень многочлена — наибольшая из степеней входящих в него одночленов после приведения подобных слагаемых. Так, у многочлена 5x⁴ − 3x + 1 степень равна 4, потому что самая большая степень переменной в оставшихся слагаемых — четвёртая. Это число удобно для сравнения многочленов и дальнейших преобразований.
Нулевой многочлен — многочлен, равный нулю после приведения подобных слагаемых. Например, 2x − 2x = 0: два слагаемых уничтожились, и переменной в результате не осталось. Степень нулевого многочлена оговаривается отдельно, поэтому её не находят так же, как степень ненулевого многочлена.
Многочлен получается, когда одночлены соединяют сложением или вычитанием. Знак перед слагаемым показывает, прибавляем мы его или вычитаем, поэтому отрицательный знак относится ко всему одночлену: в записи 3x² − 5x + 7 второе слагаемое — именно −5x. Коэффициент и степень каждого одночлена нужны, чтобы отличать его от других слагаемых и понимать, какие из них можно объединить.
Перед приведением выражения к стандартному виду сначала раскрывают скобки, если они есть, и только потом приводят подобные слагаемые. Иначе часть слагаемых может оставаться скрытой внутри скобок, а знак минус перед скобками способен изменить знаки сразу всех входящих в них членов. Например, −(x² − 3x) = −x² + 3x; без раскрытия скобок легко неверно объединить слагаемые снаружи.
Подобные слагаемые отличаются только коэффициентами, а их буквенная часть и показатели степеней совпадают. Поэтому их можно заменить одним слагаемым: при сложении или вычитании меняются коэффициенты, а буквенная часть остаётся прежней. Например, 3x² + 2x² = 5x², но x² и x не подобны: у них разные степени, и складывать их в одно слагаемое нельзя.
В стандартной записи одночлены располагают по убыванию степеней переменной, чтобы наибольшая степень сразу была видна в начале. Такой порядок делает запись удобной для чтения и позволяет сравнивать выражения, не разыскивая старшее слагаемое по всему многочлену. Если какие-то степени пропущены, это допустимо: например, в 4x³ − x² − 6 нет слагаемого со степенью 1.
Степень многочлена находят только после упрощения, потому что слагаемые с большой степенью могут сократиться. Например, в x³ − x³ + 2x² после приведения получается 2x², поэтому степень равна 2, а не 3. Если этого шага не сделать, можно назвать степень, которой в итоговом многочлене уже нет.
| Понятие | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Многочлен | Сумма одночленов | 3x² − 5x + 7 |
| Стандартный вид | Подобные слагаемые приведены, одночлены упорядочены по степеням | 4x³ − x² + 2x − 6 |
| Степень многочлена | Наибольшая степень одночлена после упрощения | Степень многочлена 5x⁴ − 3x + 1 равна 4 |
| Нулевой многочлен | Многочлен, все слагаемые которого после упрощения уничтожились | 2x − 2x = 0 |
В таблице можно найти короткое определение, а затем сверить его с примером. Чтобы определить степень, сначала проверьте, приведены ли подобные слагаемые, и только после этого найдите наибольший показатель. У нулевого многочлена обычную степень так не определяют.
Задача 1. Определите, какие из выражений являются многочленами: 4x² − 3x + 1; 7/x + 2; 5a³b − ab + 6.
Проверим первое выражение: оно состоит из одночленов 4x², −3x и 1. Переменная нигде не стоит в знаменателе, значит, это многочлен.
Во втором выражении 7/x переменная находится в знаменателе. Такая часть не является одночленом многочлена, поэтому всё выражение многочленом не является.
Третье выражение состоит из одночленов 5a³b, −ab и 6. Произведения переменных допустимы, поэтому это выражение является многочленом.
Ответ: многочлены — 4x² − 3x + 1 и 5a³b − ab + 6; выражение 7/x + 2 многочленом не является.
Задача 2. Приведите к стандартному виду многочлен 3x² − 5x + 7 + 2x² + 4x − 9.
Соберём слагаемые с одинаковой буквенной частью: отдельно члены с x², отдельно с x и отдельно числа. Так мы не смешаем слагаемые разных степеней.
Сложим коэффициенты каждой группы: 3x² + 2x² = 5x², −5x + 4x = −x, а 7 − 9 = −2.
Запишем результат по убыванию степеней x: сначала член со степенью 2, затем со степенью 1, потом число.
Ответ: 5x² − x − 2.
Задача 3. Раскройте скобки, приведите к стандартному виду и найдите степень многочлена: 2x(x² − 3x + 1) − (x³ − 4x² + 5x − 2).
Умножим 2x на каждый член первой скобки: получится 2x³ − 6x² + 2x. Каждый член должен быть умножен, иначе часть выражения потеряется.
Перед второй скобкой стоит минус, поэтому поменяем знаки всех её слагаемых: −x³ + 4x² − 5x + 2. Один минус меняет не только знак первого члена.
Объединим подобные слагаемые: (2x³ − x³) + (−6x² + 4x²) + (2x − 5x) + 2. Получим x³ − 2x² − 3x + 2; это уже стандартный вид.
Наибольшая степень оставшегося одночлена — 3, причём член x³ не уничтожился при приведении подобных.
Ответ: x³ − 2x² − 3x + 2; степень многочлена равна 3.
Выражение с переменной в знаменателе иногда принимают за многочлен, потому что оно тоже выглядит как сумма нескольких частей. Но 7/x не является одночленом, подходящим для многочлена, так как переменная делится на число, а сама стоит в знаменателе. Проверяйте каждый член отдельно: если переменная оказалась в знаменателе, выражение не является многочленом.
При раскрытии скобок перед минусом часто меняют знак только у первого слагаемого. Причина — минус ошибочно воспринимают как относящийся лишь к началу скобки, хотя он означает умножение всей скобки на −1. Чтобы проверить себя, раскройте скобки по одному слагаемому: например, −(x² − 3x + 1) = −x² + 3x − 1.
Ещё одна ошибка — складывать не только коэффициенты, но и переменные или показатели степеней. Это происходит, если забыть, что подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть, которая не меняется при сложении. Проверяйте совпадение букв и степеней: 3x² + 2x² = 5x², а x² и x объединять нельзя.
Иногда степень многочлена называют по первому слагаемому исходной записи. Так делают, не заметив, что сначала надо привести подобные слагаемые и упорядочить запись. Чтобы проверить ответ, раскройте скобки, объедините подобные члены и только потом найдите наибольшую степень среди оставшихся одночленов.
Для работы с многочленами нужно уметь распознавать одночлен, его коэффициент и степень, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти действия знакомы по предыдущим темам и служат основой для упрощения выражений. Если их выполнять последовательно, легче избежать ошибок со знаками и степенями.
Многочлены используют при сложении, вычитании и умножении алгебраических выражений. Стандартный вид помогает сравнивать результат до и после вычислений, а степень показывает, какие члены в нём остались. Эти знания понадобятся при разложении на множители, решении уравнений и исследовании алгебраических выражений.
Почему выражение с переменной в знаменателе не является многочленом?
В многочлен входят одночлены, в которых переменная не делится на другую переменную и не стоит в знаменателе. Например, 7/x = 7x⁻¹, а отрицательная степень переменной не подходит для одночлена в школьном определении. Поэтому 7/x + 2 не является многочленом.
Можно ли считать многочленом одно слагаемое?
Да. Одночлен можно рассматривать как многочлен, состоящий из одного слагаемого, например 4x². Нулевой многочлен тоже рассматривают отдельно.
Зачем приводить многочлен к стандартному виду?
Так проще увидеть, какие слагаемые можно объединить, и сравнить многочлены. Стандартная запись помогает выполнять сложение и вычитание, а также правильно находить степень.
Почему степень многочлена нужно искать после приведения подобных слагаемых?
Подобные слагаемые с наибольшими степенями могут взаимно уничтожиться. Тогда старшего слагаемого уже не будет, и степень определит следующее по величине слагаемое, которое осталось.
Как определить степень нулевого многочлена?
Если после упрощения все слагаемые уничтожились и получилось 0, это нулевой многочлен. Его степень в школьном курсе отдельно оговаривается; обычно ей не приписывают обычное значение, как ненулевому многочлену.
§ 5. Многочлен и его стандартный вид
