25. Многочлен и его стандартный вид

Определения и обозначения

Многочлен — это сумма одночленов. Например, 3x² − 2x + 5 и 4a + 7 — многочлены, а выражения 1/x и √x многочленами не являются: в них переменная стоит в знаменателе или под корнем. Понятие многочлена помогает описывать выражения, с которыми можно выполнять привычные действия с одночленами.

Каждый одночлен, входящий в сумму, называется членом многочлена. Например, у многочлена 3x² − 2x + 5 три члена: 3x², −2x и 5. Знак относится к члену, поэтому второй член здесь именно −2x, а не 2x; это нужно учитывать при сложении и раскрытии скобок.

Стандартный вид многочлена — это запись, в которой подобные члены приведены, каждый одночлен записан в стандартном виде, а члены расположены по убыванию степеней переменной. Например, 2x² + 3x − 1 уже записан стандартно. Такой порядок позволяет сразу увидеть состав выражения и его степень.

Степень многочлена с одной переменной — наибольшая степень переменной среди его ненулевых членов. Например, в 4x³ − 2x + 7 степени членов равны 3, 1 и 0, поэтому степень многочлена равна 3. Это определение применяют после упрощения: иначе одинаковые члены могут сократиться.

Как это устроено

Многочлен образуется, когда несколько одночленов складывают. Знак минус тоже можно понимать как сложение противоположного одночлена: например, 3x − 2 = 3x + (−2). Это удобно, потому что тогда все члены выражения рассматриваются как слагаемые, и их можно группировать по общему правилу.

Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть: например, 3x и −5x или 2a²b и 7a²b. Буквенная часть показывает, какие переменные и в каких степенях входят в одночлен, а коэффициент — какое число на неё умножено. Поэтому подобные члены складывают или вычитают по коэффициентам: 3x − 5x = (3 − 5)x = −2x; так сохраняется общая буквенная часть.

Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки, если они есть, затем приводят подобные члены и упорядочивают оставшиеся слагаемые. Скобки раскрывают так, чтобы каждый член внутри них умножился на внешний множитель, а знак минус перед скобками изменил знаки всех членов внутри. После приведения подобных порядок можно изменить, потому что слагаемые разрешается переставлять. Например, выражение 2x + 3 − x + 4 сначала даёт 2x − x и 3 + 4, а затем записывается как x + 7.

В стандартной записи одночлена числовой коэффициент ставят перед буквенной частью: вместо x · 4 пишут 4x. Если в произведении есть несколько переменных, их записывают подряд, обычно в алфавитном порядке, а степени указывают верхними индексами: например, 3a²b. Такой порядок записи делает одночлены сопоставимыми и помогает заметить подобные.

Степень многочлена определяют по его членам после приведения к стандартному виду. У многочлена с одной переменной степень каждого ненулевого члена — показатель степени переменной, а у числа, например 5, степень равна нулю. Сравнивают степени членов и выбирают наибольшую, потому что именно она указывает на старшую степень, оставшуюся в выражении после упрощения.

Многочлен и его стандартный вид

Таблица напоминает, что сделать с выражением и на что обратить внимание. Сначала проверь, можно ли объединить члены, затем упорядочь результат и только после этого определяй степень.

Разбор задач

Задача: привести к стандартному виду 3x + 2x − 5. Члены 3x и 2x подобны, потому что их буквенная часть одинакова; число −5 — отдельный член, его объединить с ними нельзя. Поэтому сначала складываем коэффициенты при x, а затем записываем число.

1. Выделяем подобные члены: 3x и 2x.
2. Складываем их коэффициенты: (3 + 2)x = 5x.
3. Оставляем член −5 и записываем результат: 5x − 5.

Ответ: 5x − 5.

Задача: привести к стандартному виду 4x² − 3x + 2 − x² + 5x − 7. Здесь есть два набора подобных членов: с x², с x, а также постоянные числа. Удобно сгруппировать их, чтобы не перепутать коэффициенты и сразу увидеть, какие слагаемые можно сложить.

1. Собираем группы: (4x² − x²) + (−3x + 5x) + (2 − 7).
2. Вычисляем коэффициенты: 3x² + 2x − 5.
3. Проверяем порядок: степени равны 2, 1 и 0, они уже идут по убыванию.

Ответ: 3x² + 2x − 5.

Задача: привести к стандартному виду 2x(3x − 1) − (x² − 4x + 5) и определить степень результата. Сначала нужно раскрыть обе скобки, причём минус перед второй меняет знаки всех её членов. Только после этого можно объединять подобные и сравнивать степени.

1. Раскрываем первую скобку: 2x(3x − 1) = 6x² − 2x.
2. Раскрываем вторую с учётом минуса: −(x² − 4x + 5) = −x² + 4x − 5.
3. Записываем сумму и приводим подобные: 6x² − 2x − x² + 4x − 5 = 5x² + 2x − 5.
4. Сравниваем степени ненулевых членов: 2, 1 и 0. Наибольшая — 2.

Ответ: 5x² + 2x − 5; степень многочлена равна 2.

Типичные ошибки

Ошибка: сложить коэффициенты у неподобных членов, например считать x² + x равным 2x². Так делают, замечая одинаковую переменную, но не учитывая, что её степени различны. Сложение возможно только при одинаковой буквенной части; проверяй не только букву, но и показатель степени.

Ошибка: потерять знак при раскрытии скобок с минусом. Минус перед скобками относится ко всему выражению, поэтому каждый член внутри меняет знак: −(x² − 4x + 5) = −x² + 4x − 5. Для проверки мысленно умножь каждый член скобок на −1.

Ошибка: назвать выражение стандартным видом, хотя подобные члены не приведены или члены не упорядочены. Например, 2x + 3x − 1 ещё можно упростить, а 1 + x² не расположено по убыванию степеней. Проверь, что одинаковые буквенные части объединены, а степени идут от большей к меньшей.

Ошибка: определить степень по первому записанному члену, не упростив выражение. Например, в x³ − x³ + x² член третьей степени исчезает, и результат имеет степень 2. Сначала приведи подобные члены, а затем найди наибольшую степень среди оставшихся ненулевых членов.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами понадобятся знания об одночленах, их коэффициентах и степенях, а также о подобных слагаемых. Приведение к стандартному виду используют при сложении, вычитании и умножении многочленов: аккуратная запись помогает не потерять члены и знаки. Многочлены встречаются и при разложении выражений на множители, и при решении алгебраических уравнений.

Что запомнить

• Многочлен — сумма одночленов.
• Каждое слагаемое многочлена называется его членом.
• Подобные члены отличаются только коэффициентами.
• При приведении подобных членов складывают их коэффициенты.
• В стандартном виде подобные члены уже приведены, а члены упорядочены по убыванию степеней.
• Степень многочлена равна наибольшей степени его ненулевого члена.