"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Многочлены складывают и вычитают, чтобы упростить алгебраические выражения и подготовить их к дальнейшим действиям. Для этого раскрывают скобки, следят за знаками и объединяют только подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью и показателями степеней. При сложении знаки сохраняются, а при вычитании каждый знак второго многочлена меняется на противоположный. В конце приводят результат к стандартному виду.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Одночленом называют отдельное произведение числа и букв в степенях, а многочлен может состоять из нескольких таких частей; одночлен тоже можно считать многочленом из одного слагаемого. Запись со знаками «плюс» и «минус» показывает, какие одночлены входят в сумму. Понятие многочлена нужно, чтобы удобно описывать и преобразовывать целые алгебраические выражения.
Подобные слагаемые — одночлены с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями степеней, например 4x²y и −3x²y. Их коэффициенты — числа перед буквами — могут различаться, поэтому можно сложить 4 и −3, оставив x²y без изменения. Слагаемые x и x² не подобны: у буквы x разные показатели. Это правило помогает понять, какие части выражения можно объединить.
Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные слагаемые уже приведены, а одночлены расположены по убыванию степеней. Например, 2 + 3x² − x после упорядочивания записывают как 3x² − x + 2. Если одинаковые слагаемые не собраны, сначала их объединяют, а затем располагают члены в удобном порядке. Стандартная запись облегчает сравнение многочленов и проверку результата.
Сумма многочленов получается при их сложении, а разность — при вычитании одного многочлена из другого. Скобки показывают, какие слагаемые относятся к каждому многочлену, а знак перед скобками влияет на знаки внутри неё. При сложении знаки сохраняются, при вычитании вычитаемый многочлен заменяют противоположным: у каждого его слагаемого меняют знак. Противоположный многочлен при сложении с исходным даёт ноль.
При сложении многочленов сначала объединяют их слагаемые в одну сумму, потому что сложение допускает перемену порядка слагаемых. Затем находят подобные: только у них совпадает буквенная часть, поэтому их можно заменить одним слагаемым. Коэффициенты складывают, а буквенную часть записывают один раз. Например, 2x + 5x = 7x, но x + x² объединить нельзя.
Если многочлены записаны в скобках со знаком плюс между ними, скобки можно раскрыть, не меняя знаков слагаемых. Причина в том, что прибавить сумму — значит прибавить каждое её слагаемое. После раскрытия удобно собрать одинаковые буквенные части и сложить их коэффициенты. Например, (2a − 1) + (3a + 4) превращается в 2a − 1 + 3a + 4, а затем в 5a + 3.
Вычитание заменяют сложением противоположного многочлена, поскольку вычесть число или выражение — значит прибавить значение с обратным знаком. Поэтому перед вычитаемым многочленом ставят минус, и при раскрытии скобок он меняет знак каждого слагаемого. Например, −(a − 2b + 3) = −a + 2b − 3. Если изменить знак только у первого члена, остальные останутся неверными и равенство нарушится.
После раскрытия скобок слагаемые приводят к стандартному виду: сначала собирают подобные, затем располагают одночлены по убыванию степеней. Упорядоченная запись помогает увидеть, все ли члены учтены и нет ли слагаемых, которые ещё можно объединить. Нулевые слагаемые можно опустить, потому что прибавление нуля не меняет значения выражения. При нескольких переменных порядок одночленов выбирают последовательно, сохраняя одинаковую запись для сравниваемых выражений.
Преобразования можно проверить подстановкой: вместо букв в исходное выражение и в ответ подставляют одни и те же числа. Значения должны совпасть, потому что преобразования не меняют выражение, а лишь меняют форму его записи. Например, для выражений с x можно взять x = 2 и отдельно вычислить обе записи. Такая проверка помогает обнаружить ошибку со знаком, хотя одна подстановка сама по себе не заменяет внимательного просмотра всех шагов.
| Действие | Преобразование скобок | Что сделать после раскрытия скобок |
|---|---|---|
| Сложение | Знаки слагаемых в обеих скобках сохраняются | Привести подобные слагаемые и записать многочлен в стандартном виде |
| Вычитание | Перед второй скобкой поставить минус; знаки всех её слагаемых изменить на противоположные | Привести подобные слагаемые и записать многочлен в стандартном виде |
Сначала определи, выполняется сложение или вычитание: от этого зависит, что произойдёт со знаками второй скобки. Затем раскрой скобки и объедини только подобные слагаемые. В конце проверь, что ответ записан в стандартном виде.
Найти сумму многочленов 3x + 2 и x − 5. В обеих частях выражения нет знака минус перед скобками, поэтому ни один знак менять не нужно. Подобными здесь являются слагаемые с x и отдельные числа. Запишем вычисления по шагам.
Ответ: 4x − 3. Буквенные и числовые слагаемые не объединяли друг с другом, потому что их буквенные части различаются. В стандартном виде член с x записан перед свободным числом.
Вычесть из 4a² − 3a + 1 многочлен a² + 2a − 6. Вычитаемый многочлен нужно взять целиком, поэтому минус перед ним изменит знаки всех трёх слагаемых. После раскрытия скобок отдельно соберём члены с a², с a и числа. Так не перепутаем слагаемые разной степени.
Ответ: 3a² − 5a + 7. Коэффициент при a стал отрицательным, потому что складывались −3 и −2. Числа 1 и 6, напротив, дали 7.
Упростить выражение (2x² − 3xy + y²) − (x² + 4xy − 2y²) + (3xy − y²). Здесь три группы слагаемых, поэтому важно сначала раскрыть скобки, учитывая знак перед каждой из них. Затем соберём отдельно x², xy и y². Так можно проверить, что ни один член не потерялся.
Ответ: x² − 4xy + 2y². При раскрытии второй скобки все её знаки поменялись, а у третьей сохранились. Проверка подстановкой, например x = 1 и y = 2, даёт одно и то же значение для исходной записи и ответа.
При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Так происходит, если минус воспринимают как знак перед ближайшим членом, а не как действие над всем многочленом. Нужно мысленно умножить каждое слагаемое скобки на −1. Проверь себя: раскрой скобки в −(a + 2b − 3) и убедись, что получено −a − 2b + 3.
При сложении могут ошибочно изменить знаки слагаемых второй скобки, применив правило вычитания. Причина — смешение знака действия между многочленами со знаками отдельных членов. Если между скобками стоит плюс, скобки раскрываются без изменения знаков. Для проверки сравни исходную сумму со строкой после раскрытия: каждое слагаемое должно сохранить свой знак.
Ещё одна ошибка — сложить коэффициенты у неподобных слагаемых, например записать x + x² как 2x². Так делают, замечая одну и ту же букву, но не проверяя показатель степени. Складывать можно только при совпадении всей буквенной части и всех показателей. Перед вычислением выпиши группы: x — отдельно, x² — отдельно; если подобной пары нет, оставь член без изменения.
При приведении подобных слагаемое с нулевым коэффициентом иногда записывают неверно или теряют один из остальных членов. Ошибка появляется, когда коэффициенты считают в уме и не сверяют исходные слагаемые. Например, 5x − 5x = 0 и этот член можно опустить, но 5x − 4x = x. Пересчитай коэффициенты каждой буквенной группы и проверь, что в результате остались все группы с ненулевой суммой.
Для сложения и вычитания многочленов нужны навыки раскрытия скобок и действий со знаками чисел. Если знак перед скобками понят неверно, ошибка перейдёт в каждый член выражения. Также нужно узнавать подобные слагаемые, чтобы не объединять, например, x и x². Эти умения делают преобразования последовательными и помогают контролировать вычисления.
Сложение и вычитание подготавливают к умножению многочленов: после раскрытия произведения часто приходится собирать подобные слагаемые. Те же приёмы используют при упрощении более длинных алгебраических выражений. Когда знаки и буквенные части записаны аккуратно, легче сравнивать выражения и выполнять следующие преобразования без лишних ошибок.
Почему при вычитании многочлена нужно менять знаки у всех слагаемых в скобках?
Минус перед скобками относится ко всему многочлену, а не только к его первому слагаемому. Поэтому каждое слагаемое заменяется противоположным: например, −(a + 2b − 3) = −a − 2b + 3.
Можно ли складывать слагаемые с разными степенями одной и той же буквы?
Нет, например, x и x² — неподобные слагаемые, поэтому их нельзя объединить в одно. Складывают только коэффициенты при одинаковой буквенной части и одинаковых показателях степеней.
Что делать, если после приведения подобных слагаемые исчезли?
Если коэффициенты подобных слагаемых в сумме дают ноль, этот член можно опустить: например, 4x − 4x = 0. Если так исчезли все слагаемые, результат равен нулю.
Обязательно ли записывать ответ в стандартном виде?
Для вычисления это не всегда обязательно, но стандартная запись делает результат понятным и удобным для проверки. В ней подобные слагаемые уже объединены, а одночлены расположены по убыванию степеней.
Как проверить результат сложения или вычитания многочленов?
Подставь вместо букв одинаковые числа в исходное выражение и в полученный результат. Если значения совпали, это подтверждает вычисления для выбранной подстановки, хотя при сомнениях стоит также проверить раскрытие скобок и приведение подобных.
26. Сложение и вычитание многочленов
