"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Произведение одночлена и многочлена — выражение, которое упрощают, умножая одночлен на каждое слагаемое в скобках. Это правило основано на распределительном свойстве и помогает раскрывать скобки, преобразовывать выражения и решать уравнения. При вычислениях важно сохранить знаки всех слагаемых, перемножить коэффициенты и сложить показатели степеней одинаковых переменных. Если после раскрытия скобок появились подобные слагаемые, их приводят.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, в одночлене −3x²y числовой коэффициент равен −3, а буквенная часть — x²y. Если перед буквами нет числа, коэффициент равен 1, а если стоит только минус — −1. Такое разделение помогает отдельно умножать числа и переменные.
Многочлен — сумма одночленов, например 2x² − 3x + 5. Его можно понимать как сумму слагаемых с учётом знаков: 2x² + (−3x) + 5. Поэтому знак минус относится к следующему за ним слагаемому, а не исчезает при записи в скобках. Это нужно учитывать, когда умножаем многочлен на одночлен.
Произведение одночлена и многочлена — выражение, которое преобразуют, умножая одночлен на каждый член многочлена. Например, a(b + c) превращается в ab + ac. Такое преобразование заменяет произведение со скобками суммой произведений и позволяет упростить выражение или подготовить его к дальнейшим вычислениям.
Правило умножения одночлена на многочлен следует из распределительного свойства умножения относительно сложения: a(b + c) = ab + ac. Сложение в скобках означает, что к одному слагаемому прибавлено другое, а умножение на их сумму равносильно сложению отдельных произведений. Это свойство верно и для вычитания, потому что вычитание можно представить как прибавление отрицательного числа: a(b − c) = ab − ac.
Поэтому одночлен нужно умножить на каждое слагаемое многочлена, а не только на первое или последнее. Порядок слагаемых при распределении сохраняют: так легче сопоставить каждое исходное слагаемое с полученным произведением. Знак каждого слагаемого тоже учитывают как часть этого слагаемого. Например, в a(b − c + d) получаются ab, −ac и ad.
Чтобы умножить одночлены, сначала перемножают их числовые коэффициенты. Затем перемножают буквенные части: степени одинаковой переменной складывают, потому что, например, x² · x³ — это пять множителей x, то есть x⁵. Разные переменные записывают вместе, не изменяя их показатели. Так, 2x · 3x²y = 6x³y.
После распределения скобок проверь, нет ли подобных слагаемых — таких, у которых одинаковая буквенная часть. Их можно объединить, сложив коэффициенты, потому что буквенные части при этом одинаковы: 4x − x = 3x. Слагаемые с разными степенями или разными переменными объединять нельзя. Например, 3x² и 3x — не подобные слагаемые.
Если коэффициент одночлена отрицательный, он умножается на каждый член многочлена, а знак каждого результата определяется правилами умножения знаков. Например, при умножении на −2a положительное слагаемое станет отрицательным, а отрицательное — положительным. Это объясняет смену знака в выражении −2a(3a² − 4a + 1): первый и третий результаты будут отрицательными, второй — положительным. Знаки удобнее проверять для каждого произведения отдельно.
| Шаг | Что сделать | Пример для выражения a(b + c) |
|---|---|---|
| 1 | Применить распределительное свойство | a(b + c) = ab + ac |
| 2 | Умножить одночлен на каждый член многочлена | a · b и a · c |
| 3 | Упростить каждый полученный одночлен | Перемножить коэффициенты и учесть степени переменных |
| 4 | Привести подобные слагаемые, если они есть | Сложить коэффициенты у слагаемых с одинаковой буквенной частью |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала раскрой скобки, затем упрости каждое произведение. Последний шаг нужен только тогда, когда появились подобные слагаемые. В выражении a(b + c) буквенных данных для дополнительных упрощений нет.
Выполните умножение: 3x(2x + 5). В скобках два слагаемых, поэтому 3x нужно умножить отдельно на 2x и на 5. После этого упростим оба произведения.
Ответ: 6x² + 15x.
Раскройте скобки: −2a(3a² − 4a + 1). Здесь одночлен с отрицательным коэффициентом умножается на три слагаемых. Чтобы не перепутать знаки, выполним три произведения по отдельности и проверим каждое.
Ответ: −6a³ + 8a² − 2a.
Упростите выражение: 2x(3x − 1) − x(4x + 5). Сначала раскроем обе пары скобок. Во втором произведении стоит минус перед x(4x + 5), поэтому его удобно воспринимать как умножение на −x: так знак сразу распределится на оба слагаемых.
Ответ: 2x² − 7x.
Умножают только на первый член. Например, в 2(x + 3) могут записать только 2x, забыв произведение 2 · 3. Так происходит, если воспринимать скобки как одно целое, а не как сумму слагаемых. Проверь себя: напротив каждого члена в скобках должно быть отдельное произведение.
Теряют знак слагаемого. При раскрытии скобок особенно легко сделать положительным результат умножения отрицательного числа на положительное. Ошибку допускают, когда переписывают многочлен, не проверяя каждую пару множителей. Для самопроверки отдельно выпиши произведения и определи знак каждого по правилу знаков.
Перемножают показатели степеней с одинаковым основанием. Например, x² · x³ ошибочно превращают в x⁶. Показатели нужно складывать, потому что степени означают количество одинаковых множителей: вместе их пять, поэтому ответ x⁵. Проверь результат, раскрыв степени в виде произведений переменной.
Неверно работают с коэффициентами и буквенной частью. Можно сложить коэффициенты вместо того, чтобы перемножить, или изменить буквы не по правилу степеней. Это случается, если выполнять действия над всем одночленом сразу, не разделяя его на числовую и буквенную части. Проверь отдельно коэффициенты, затем переменные: например, 2x · 3x² = 6x³.
Для раскрытия скобок нужны распределительное свойство умножения относительно сложения и правила знаков при умножении. Без них нельзя понять, почему множитель относится ко всем слагаемым и каким будет знак каждого произведения. Эти правила уже используются и при обычных числовых вычислениях.
Также нужно уметь умножать одночлены и складывать подобные слагаемые. Первое помогает упрощать отдельные части после распределения, второе — приводить результат к более короткой записи. Если буквенные части разные, соответствующие слагаемые остаются раздельными.
Раскрытие скобок пригодится при преобразовании многочленов, упрощении выражений и решении уравнений. Оно помогает убрать скобки и увидеть, какие слагаемые можно объединить. В дальнейшем тот же принцип распределения используется и в более сложных алгебраических преобразованиях.
Почему одночлен нужно умножать на каждое слагаемое в скобках?
Так работает распределительное свойство: a(b + c) = ab + ac. Если умножить только на одно слагаемое, получится выражение, не равное исходному.
Как раскрывать скобки, если перед ними стоит отрицательный одночлен?
Умножь отрицательный одночлен на каждый член многочлена отдельно. Знак результата определяй для каждой пары множителей: отрицательное на положительное даёт отрицательное, а отрицательное на отрицательное — положительное.
Что делать с показателями степеней при умножении одночленов?
Если основания одинаковые, показатели складывают: x² · x³ = x⁵. Коэффициенты при этом перемножают, а разные переменные записывают рядом.
Нужно ли приводить подобные слагаемые после раскрытия скобок?
Да, если в результате есть слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями переменных. Складывают или вычитают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют.
Как проверить, что произведение одночлена и многочлена раскрыто правильно?
Проверь, что одночлен умножен на каждый член многочлена и ни один знак не потерян. Затем проверь умножение коэффициентов и сложение показателей одинаковых переменных; при сомнении можно подставить вместо переменных числа и сравнить значения.
§ 10. Произведение одночлена и многочлена
