§ 8. Произведение одночлена и многочлена

Определения и обозначения

Одночлен — это число, переменная или произведение чисел и переменных, взятых в неотрицательных целых степенях. Например, 5x²y и −3a — одночлены. В стандартном виде сначала записывают числовой коэффициент, затем переменные с показателями: выражение 2x · 3x² приводят к виду 6x³. Такой вид помогает увидеть, какие множители можно объединить.

Многочлен — сумма одночленов, например 2x + 5 или 3a² − ab + 1. Слагаемые, из которых он состоит, называют членами многочлена. В записи 3a² − ab + 1 три члена: 3a², −ab и 1. Понимание, где заканчивается один член и начинается другой, нужно, чтобы умножить каждый из них и не пропустить ни одного.

Произведение одночлена и многочлена — выражение, в котором одночлен умножается на многочлен, например 3x(2x + 5). В скобках находится сумма двух членов, поэтому одночлен должен быть умножен на оба. Это не новая операция: выражение раскрывают с помощью распределительного свойства умножения. Так запись со скобками превращается в сумму или разность одночленов.

Как это устроено

Правило умножения вытекает из распределительного свойства: число, умноженное на сумму, равно сумме произведений. Поэтому a(b + c) = ab + ac, а для многочлена с большим числом членов правило продолжается на каждый из них. Например, в 2(x + 3 + y) множитель 2 относится и к x, и к 3, и к y. Если оставить без умножения хотя бы одно слагаемое, исходная сумма изменится.

Каждый член многочлена — одночлен, поэтому дальше нужно умножить одночлен на одночлен. Сначала перемножают числовые коэффициенты, поскольку числовые множители можно сгруппировать отдельно. Для одинаковых переменных используют правило степеней: x² · x³ = x²⁺³ = x⁵, так как вместе перемножаются пять множителей x. Переменные с разными буквами сохраняют рядом: x² · y = x²y.

Знак произведения тоже определяется при умножении каждого члена. Положительный множитель сохраняет знак слагаемого, а отрицательный меняет его: −2 умножить на 3a даёт −6a, а −2 умножить на −4b даёт +8b. Знак минус перед одночленом относится ко всему множителю, а не только к первому члену в скобках. Поэтому полезно отдельно следить за знаком каждого произведения.

После раскрытия скобок каждый результат приводят к стандартному виду: перемножают коэффициенты и объединяют степени одинаковых переменных. Затем, если в выражении есть подобные одночлены, их складывают: это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 3x² + 5x² = 8x², но x² и x — не подобные. Такой порядок делает запись аккуратной и помогает не спутать умножение с последующим сложением.

Проверить готовый результат можно обратным действием или повторным применением распределительного свойства. Например, если получилось 6x² + 15x из 3x(2x + 5), вынесение общего множителя 3x возвращает исходную запись. Если после проверки в скобках стоят прежние слагаемые, вычисление согласуется с исходным выражением. Проверка особенно полезна, когда в скобках есть отрицательные члены.

Правила умножения одночлена на многочлен

Пользуйтесь таблицей как порядком действий: сначала распределите множитель, затем разберите знаки и приведите произведения к стандартному виду. Подобные одночлены объединяйте только после раскрытия скобок. Если одинаковой буквенной части нет, слагаемые оставляют раздельно.

Разбор задач

Раскройте скобки: 3x(2x + 5).

В скобках два слагаемых, значит, множитель 3x нужно распределить на оба. Сначала умножим его на 2x: коэффициенты дают 6, а x · x = x². Затем умножим 3x на свободный член 5; после этого сложим полученные произведения.

1. Умножаем на первое слагаемое: 3x · 2x = 6x².
2. Умножаем на второе слагаемое: 3x · 5 = 15x.
3. Записываем сумму произведений: 6x² + 15x.

Ответ: 6x² + 15x.

Раскройте скобки и упростите: −2a(3a − 4b + 1).

Здесь одночлен отрицательный, а в скобках три члена. Умножаем −2a на каждый: знак первого произведения будет отрицательным, второго — положительным, третьего — отрицательным. Переменные в произведениях записываем вместе, а числовой член 1 тоже обязательно умножаем на −2a.

1. −2a · 3a = −6a².
2. −2a · (−4b) = +8ab.
3. −2a · 1 = −2a.
4. Записываем результат: −6a² + 8ab − 2a.

Слагаемые имеют разные буквенные части, поэтому объединить их нельзя. Ответ: −6a² + 8ab − 2a.

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 2x(3x − 4) − x(2x + 5).

В выражении два произведения, и перед вторым стоит минус. Удобно сначала раскрыть каждую пару скобок, сохраняя знак перед вторым результатом. Затем найдём слагаемые с одинаковой буквенной частью: отдельно с x² и отдельно с x.

1. Раскрываем первые скобки: 2x · 3x − 2x · 4 = 6x² − 8x.
2. Вторые скобки раскрываем с множителем −x: −x · 2x − x · 5 = −2x² − 5x.
3. Записываем все члены: 6x² − 8x − 2x² − 5x.
4. Объединяем подобные: (6 − 2)x² + (−8 − 5)x = 4x² − 13x.

Ответ: 4x² − 13x.

Типичные ошибки

Ошибка: умножить одночлен только на первое слагаемое в скобках. Так бывает, когда скобки воспринимают как единый неделимый кусок и забывают о распределительном свойстве. Проверьте, что для каждого члена многочлена записано отдельное произведение. Число слагаемых в результате до приведения должно соответствовать числу членов в скобках.

Ошибка: пропустить свободный член — число без переменной. Его могут принять за отдельную часть записи, не связанную с множителем. Но свободный член тоже является слагаемым многочлена: например, в 2x(x + 3) нужно получить и 2x · x, и 2x · 3. Для проверки обведите или перечислите все члены внутри скобок и отметьте каждый умноженный.

Ошибка: неверно расставить знаки, особенно если перед скобками стоит отрицательный множитель. Ученик может оставить знаки без изменения или поменять только первый. Определяйте знак каждого произведения отдельно по знакам двух множителей. Например, при −2(3a − 4) результат −6a + 8: первое произведение отрицательное, второе положительное.

Ошибка: перемножить показатели степеней одинаковых переменных. Например, из x² · x³ ошибочно получить x⁶. Показатели складывают, потому что степени обозначают число одинаковых множителей: два множителя x вместе с тремя дают пять, то есть x⁵. Проверьте себя, раскрыв степени: x · x · x · x · x.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны распределительное свойство умножения, правила знаков и умножение одночленов. Распределительное свойство объясняет, почему множитель относится к каждому члену, а правила умножения помогают правильно получить каждое произведение. Навык раскрытия скобок пригодится при упрощении выражений и решении уравнений: он позволяет привести запись к виду, с которым удобнее выполнять следующие действия. Умение приводить подобные слагаемые завершает упрощение результата.

Что запомнить

• Одночлен умножают на каждое слагаемое многочлена.
• Умножение одночлена на многочлен основано на распределительном свойстве.
• Знак каждого произведения определяется знаками его множителей.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• После раскрытия скобок приводят подобные одночлены.
• Проверить результат можно повторным применением распределительного свойства.