19. Понятие многочлена

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел и переменных, показатели которых являются неотрицательными целыми числами. Например, 5a²b и −3xy — одночлены, а число 7 тоже можно считать одночленом: это произведение без переменных. В выражении 1/y переменная стоит в знаменателе, то есть её показатель равен −1, поэтому это не одночлен. Такое определение помогает сразу отличать допустимые множители от выражений с переменной в знаменателе или корнем из переменной.

Многочлен — сумма одночленов, например 4x² + 3x − 5. Знак вычитания можно заменить сложением противоположного одночлена: 3x − 2 = 3x + (−2). Поэтому разность тоже можно рассматривать как многочлен. Это удобно, когда нужно раскрыть выражение как сумму и затем сгруппировать его части.

Членами многочлена называют одночлены, из которых он составлен. Например, у выражения 4x² − 3x + 2 членами являются 4x², −3x и 2; знак входит в запись каждого члена. Если заменить вычитание сложением, знак минус станет частью противоположного одночлена. Учитывать знаки нужно, чтобы при объединении слагаемых получить правильный результат.

Стандартный вид многочлена — такая запись, в которой каждый член записан в стандартном виде, а подобные одночлены приведены. Подобными называются одночлены с одинаковой буквенной частью, например 2x² и −5x². В стандартном виде их заменяют одним членом: 2x² − 5x² = −3x². Это упрощает выражение и помогает увидеть, какие слагаемые в нём можно объединить.

Как это устроено

Многочлен получают сложением одночленов, поэтому выражение с вычитанием тоже подходит под это определение. Вычитание числа или одночлена означает прибавление противоположного: вместо a − b можно записать a + (−b). Например, x² − 4x + 1 — это сумма x², −4x и 1. Такая запись показывает все члены и позволяет применять правила сложения, не меняя смысла выражения.

Чтобы получить стандартный вид одночлена, сначала перемножают его числовые множители. Затем одинаковые переменные объединяют по правилу умножения степеней с одним основанием: показатели складываются, потому что переменная повторяется столько раз, сколько указывают оба показателя вместе. Так, a² · a³ = a⁵. Разные переменные не объединяют: произведение a²b остаётся произведением этих буквенных частей.

Приведение многочлена к стандартному виду состоит из нескольких действий, и порядок важен. Сначала раскрывают скобки, затем проверяют знак каждого получившегося слагаемого. После этого находят подобные члены и складывают их коэффициенты, оставляя буквенную часть без изменений. Такой порядок нужен, чтобы не объединить разные члены и не потерять знак при раскрытии скобок.

При объединении подобных членов некоторые слагаемые могут исчезнуть. Например, 6x − 6x = 0: коэффициенты 6 и −6 в сумме дают ноль, поэтому члена с x больше нет. Если в многочлене есть и другие слагаемые, исчезнут только те, чьи коэффициенты взаимно уничтожаются. Значит, после упрощения число членов может уменьшиться.

Нулевой многочлен — особый результат приведения: после объединения подобных слагаемых не остаётся ни одного члена. Например, 2a + 3 − 2a − 3 = 0, потому что отдельно сокращаются слагаемые с a и числа. Ноль можно получить и в записи, где все члены уже представлены: 0x + 0. Это важно учитывать, чтобы не принять исчезнувший член за пропущенное слагаемое.

Понятия и записи, связанные с многочленом

Пользуйтесь таблицей как памяткой: сначала определите, состоит ли запись из одного произведения или из суммы одночленов. Затем найдите отдельные члены, обязательно сохраняя их знаки. Чтобы проверить стандартный вид, убедитесь, что одночлены упрощены, а подобных членов больше нет.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из выражений 5a²b, 3x − 2, 1/y являются одночленами, а какие — многочленами. Проверять будем не внешний вид выражения, а то, подходит ли оно под определения: одночлен — произведение, а многочлен — сумма одночленов. Знак вычитания при этом можно заменить сложением противоположного.

1. 5a²b — произведение числа 5, переменной a во второй степени и переменной b в первой степени. Показатели неотрицательные целые, значит, это одночлен.
2. 3x − 2 перепишем как 3x + (−2). Здесь сложены два одночлена, поэтому выражение является многочленом.
3. В 1/y переменная стоит в знаменателе. Это то же самое, что y⁻¹, а отрицательный показатель не допускается, поэтому выражение не является одночленом и не записано как многочлен.

Ответ: 5a²b — одночлен; 3x − 2 — многочлен; 1/y не является ни одночленом, ни многочленом.

Задача 2. Запишите в стандартном виде выражение 3a · 2a²b. В произведении есть числовые множители 3 и 2, а также одинаковые переменные a. Переменную b оставить отдельно, так как второго множителя b нет.

1. Перемножим числовые множители: 3 · 2 = 6.
2. Объединим множители a и a². У первой a показатель 1, поэтому a · a² = a¹⁺² = a³.
3. Запишем результат произведения: 6a³b. Числовой коэффициент поставлен перед буквенной частью.

Ответ: 6a³b.

Задача 3. Приведите к стандартному виду выражение 4x² − 3x + 2x² + 3x − 5. Здесь несколько слагаемых с одинаковой буквенной частью, поэтому их можно объединить. Сначала удобно сгруппировать члены с x², затем члены с x и отдельно число.

1. Перепишем выражение группами: (4x² + 2x²) + (−3x + 3x) − 5. Скобки только показывают, какие члены подобны.
2. Сложим коэффициенты при x²: 4 + 2 = 6, значит, первая группа равна 6x².
3. Сложим коэффициенты при x: −3 + 3 = 0, поэтому эти члены исчезают. Число −5 остаётся без изменений.
4. Запишем оставшиеся члены: 6x² − 5. Подобных слагаемых больше нет, значит, это стандартный вид.

Ответ: 6x² − 5.

Типичные ошибки

• Считать 1/y одночленом — ошибка: переменная в знаменателе равносильна отрицательной степени, а в одночлене показатели должны быть неотрицательными. Такую запись легко принять за произведение числа и переменной. Проверка простая: перепишите дробь как степень; если показатель переменной отрицательный, это не одночлен.

• При умножении одинаковых переменных иногда перемножают показатели, например ошибочно считают a² · a³ = a⁶. Путают это правило с другими действиями со степенями. Здесь нужно разложить степени на множители: всего пять множителей a, поэтому верно a⁵.

• Нельзя складывать коэффициенты у членов с разными буквенными частями: 2x и 3x² не подобны. Ошибка возникает, если смотреть только на числа перед буквами. Перед объединением сравните переменные и их показатели; совпасть должна вся буквенная часть.

• При раскрытии скобок или замене вычитания сложением легко потерять знак. Например, −(x + 2) даёт −x − 2, а не −x + 2. Ошибку допускают, когда переносят знак только к первому слагаемому; проверьте, что минус перед скобками изменил знак каждого члена внутри.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами понадобятся знания о степени с натуральным показателем: именно они объясняют, почему при умножении одинаковых переменных показатели складывают. Также важно понимать, что такое коэффициент одночлена и подобные слагаемые: без этого не получится правильно привести выражение к стандартному виду. Навык приведения пригодится дальше при сложении, вычитании и умножении многочленов. Чем точнее выполнено упрощение, тем легче проверить последующие вычисления.

Что запомнить

• Многочлен — сумма одночленов.
• Вычитание одночлена можно заменить сложением противоположного одночлена.
• В стандартном виде подобные члены приведены.
• При умножении одинаковых переменных показатели складывают.
• Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть.
• После приведения подобных слагаемых многочлен может оказаться нулевым.