§ 16. Понятие многочлена

Определения и обозначения

Многочлен от одной переменной — сумма одночленов с числовыми коэффициентами и неотрицательными целыми степенями переменной. Например, 3x⁴ − 2x + 5 — многочлен: его можно представить как сумму 3x⁴, −2x и 5. Это определение помогает отличить многочлены от других выражений и понять, какие преобразования с ними допустимы.

Коэффициент многочлена — числовой множитель при соответствующей степени переменной. В записи 3x⁴ − 2x + 5 коэффициент при x⁴ равен 3, а при x — −2; число 5 называют свободным членом, то есть коэффициентом при x⁰. Коэффициенты нужны, чтобы описывать состав многочлена и выполнять действия с ним.

Степень многочлена — наибольшая степень переменной, у которой коэффициент не равен нулю. У выражения 3x⁴ − 2x + 5 степень равна 4. Степень показывает, какой член является старшим, и помогает сравнивать многочлены и выбирать способ вычислений.

Нулевой многочлен — многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, например 0x² + 0x + 0. У него нет ненулевого коэффициента, поэтому наибольшую степень с таким коэффициентом указать нельзя. По принятой в этом разборе договорённости степень нулевого многочлена не определена.

Как это устроено

Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки, затем складывают слагаемые с одинаковыми степенями переменной и располагают результат по убыванию степеней. Например, x + 2x² − 3x можно записать как 2x² − 2x. Сначала нужно собрать подобные слагаемые, иначе одинаковые степени остаются разбросанными и трудно понять, какие коэффициенты относятся к многочлену.

В многочлене показатель переменной может быть только неотрицательным целым числом: 0, 1, 2 и так далее. Это следует из того, что многочлен состоит из одночленов такого вида. Переменная в знаменателе даёт отрицательную степень, например 1/x = x⁻¹, а корень из переменной — дробную: √x = x^(1/2); такие выражения определению не соответствуют.

В стандартной записи коэффициент читают рядом с каждой степенью, а если степень отсутствует, её коэффициент считают равным нулю. Так, в 3x⁴ − 2x + 5 коэффициент при x⁴ равен 3, при x³ — 0, при x² — 0, при x — −2, свободный член — 5. Нулевые коэффициенты позволяют описать все степени подряд, даже когда некоторые слагаемые не записаны.

Степень находят после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Например, в выражении (x² + 1) − x² члены x² взаимно уничтожаются, и остаётся 1; степень результата равна 0. До упрощения нельзя просто выбрать наибольший видимый показатель: его коэффициент может исчезнуть при сложении или вычитании.

Ненулевой постоянный многочлен, например 7, имеет степень 0, поскольку 7 = 7x⁰. Нулевой многочлен устроен иначе: у него нет ненулевого коэффициента ни при одной степени. Поэтому число 0 не следует считать обычным постоянным многочленом со степенью 0.

Элементы многочлена в стандартной записи

Чтобы пользоваться таблицей, сначала убедитесь, что многочлен приведён к стандартному виду. Затем найдите слагаемое с нужной степенью и прочитайте его числовой множитель. Если такого слагаемого нет, запишите коэффициент 0.

Разбор задач

1. Определите, является ли выражение 4x³ − 2x + 7 многочленом от x.

1. Проверяем показатели переменной: у x³ показатель 3, у x показатель 1. Оба числа — неотрицательные целые.
2. Проверяем коэффициенты: 4, −2 и 7 — числа. Слагаемое 7 можно считать членом 7x⁰.
3. Сочетаний с переменной в знаменателе или под корнем нет, значит, все требования соблюдены.

Ответ: выражение является многочленом от x.

2. Приведите выражение 2x² + 3x − x² + 5 к стандартному виду и укажите его степень и коэффициенты.

1. Собираем подобные слагаемые: 2x² и −x² имеют одинаковую степень, поэтому их сумма равна x².
2. Записываем оставшиеся слагаемые по убыванию степеней: x² + 3x + 5. Это стандартный вид.
3. Наибольшая степень с ненулевым коэффициентом — 2. Коэффициенты при x² и x равны 1 и 3, а свободный член равен 5.

Ответ: x² + 3x + 5; степень 2; коэффициенты при x² и x — 1 и 3, свободный член — 5.

3. Упростите выражение (x² − 1) − (x² + 2x − 3) и определите степень полученного многочлена.

1. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: x² − 1 − x² − 2x + 3.
2. Складываем подобные: x² − x² = 0, а −1 + 3 = 2. Получаем −2x + 2.
3. Член второй степени сократился, поэтому выбираем наибольшую степень уже в упрощённом результате. Это степень 1 при x.

Ответ: −2x + 2; степень многочлена равна 1.

Типичные ошибки

Ошибка: считать многочленом любое выражение, где есть степени переменной. Отрицательные и дробные показатели, а также переменная в знаменателе не допускаются; такую запись иногда принимают за подходящую из-за знакомого внешнего вида. Проверьте каждый показатель и убедитесь, что переменная не стоит в знаменателе или под корнем.

Ошибка: определять степень по самому большому показателю до упрощения. Это происходит, когда не замечают, что старшие члены могут взаимно уничтожиться. Раскройте скобки, приведите подобные и только затем найдите наибольшую оставшуюся степень с ненулевым коэффициентом.

Ошибка: считать, что у пропущенной степени нет коэффициента или что запись неполная. На деле её коэффициент равен нулю, например у x⁴ + 2x коэффициенты при x³ и x² — нулевые. Для самопроверки выпишите степени подряд и поставьте 0 там, где слагаемого нет.

Ошибка: смешивать нулевой многочлен с ненулевым постоянным. Их могут считать одинаковыми, потому что в обоих случаях переменная явно не видна, но у ненулевого постоянного коэффициент отличен от нуля, а у нулевого все коэффициенты равны нулю. Проверьте значение свободного члена: если он ненулевой, это постоянный многочлен степени 0.

Связь с другими темами

Перед изучением многочленов полезно знать, что такое одночлен, как возводить переменную в степень с неотрицательным целым показателем и как приводить подобные слагаемые. Эти умения помогают распознавать многочлены и записывать их в стандартном виде. Понятие многочлена затем используется при делении многочленов, разложении выражений на множители и решении алгебраических уравнений.

Что запомнить

• Многочлен состоит из одночленов с числовыми коэффициентами.
• Показатели переменной в многочлене — неотрицательные целые числа.
• Стандартная запись упорядочивает слагаемые по убыванию степеней.
• Коэффициент пропущенной степени считают равным нулю.
• Степень определяют после приведения подобных слагаемых.
• Нулевой многочлен отличается от ненулевого постоянного.