§ 15. Простые числа. Основная теорема арифметики

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Если b делит a, то a можно представить в виде произведения b и частного: a = b · c. Это представление помогает находить делители числа и проверять, делится ли одно число на другое.

Простое число — натуральное число, большее 1, у которого ровно два натуральных делителя: 1 и само число. Например, у 7 делители только 1 и 7. Такое определение позволяет отличать числа, которые нельзя разложить на произведение меньших натуральных чисел, от остальных чисел больше 1.

Составное число — натуральное число, большее 1, у которого есть делитель, отличный от 1 и самого числа. Например, 12 составное, поскольку делится на 2, а 2 не равно ни 1, ни 12. Составные числа можно представить произведением меньших натуральных чисел, поэтому их удаётся разбирать на более простые множители.

Разложение натурального числа на простые множители — представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 30 = 2 · 3 · 5. Такая запись показывает состав числа и нужна, в частности, для вычисления НОД и НОК.

Как это устроено

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным, потому что у него только один натуральный делитель — 1. Для простого числа требуются ровно два делителя, а составным называется число больше 1 с дополнительным делителем. Это разделение оставляет два непересекающихся класса чисел больше 1 и позволяет говорить о простых множителях без исключений, связанных с единицей.

Чтобы отличить простое число от составного, ищут его делители, кроме 1 и самого числа. Для проверки достаточно рассматривать делители не больше квадратного корня числа: если n = a · b, то a и b не могут оба быть больше √n, иначе их произведение превысит n. Значит, у составного числа обязательно найдётся делитель в проверяемом диапазоне. Проверять можно простые делители: если число делится на составное, оно делится и на какой-либо простой множитель этого делителя.

Любое натуральное число больше 1 можно разложить на простые множители. Если число составное, его представляют произведением двух натуральных чисел, меньших исходного; если один из множителей тоже составной, его снова разбивают на множители. Этот процесс продолжают, пока все получившиеся множители не станут простыми. Он не может продолжаться бесконечно: на каждом шаге рассматриваются меньшие натуральные числа.

На практике число последовательно делят на простые числа, начиная с наименьших: 2, 3, 5, 7 и далее. Найденный простой делитель записывают, а деление продолжают с полученным частным; если делитель не подходит, пробуют следующий. Когда частное равно 1, произведение записанных делителей и есть разложение. Проверка обратная: перемножить все множители и убедиться, что получилось исходное число.

Основная теорема арифметики утверждает: каждое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел, и такое представление единственно с точностью до порядка множителей. Существование объясняется последовательным разложением составных множителей, а единственность означает, что из простых множителей нельзя получить другое разложение того же числа. Поэтому записи 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3 считаются одним разложением.

Простые и составные числа и их разложения

Сначала определите, к какой строке относится число: важно не смешивать случай числа 1 с простыми и составными числами. Затем сравните его делители с определениями. Для разложения проверьте, что каждый множитель простой, а их произведение равно исходному числу.

Разбор задач

Определить, является ли число 29 простым

Нужно проверить, есть ли у 29 делители, отличные от 1 и 29. √29 примерно равно 5,4, поэтому достаточно проверить простые числа 2, 3 и 5. Если делителей среди них нет, то по критерию проверки до квадратного корня число простое.

1. 29 не делится на 2, потому что оно нечётное.
2. Сумма цифр числа равна 11, поэтому 29 не делится на 3.
3. Число не оканчивается на 0 или 5, значит, оно не делится на 5.

Ни один простой делитель до √29 не подошёл. Ответ: 29 — простое число.

Разложить число 360 на простые множители

Начинаем с наименьших простых делителей и продолжаем, пока частное не станет равно 1. Это удобнее, чем сразу подбирать множители: каждый шаг даёт один простой множитель. После деления одинаковые множители можно сгруппировать и записать степенью.

1. 360 делится на 2: 360 = 2 · 180.
2. 180 делится на 2: 180 = 2 · 90; затем 90 = 2 · 45.
3. 45 делится на 3: 45 = 3 · 15; затем 15 = 3 · 5.
4. 5 — простое число, поэтому деление завершено: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Три множителя 2 записываем как 2³, а два множителя 3 — как 3². Проверка: 8 · 9 · 5 = 360. Ответ: 360 = 2³ · 3² · 5.

Найти НОД и НОК чисел 84 и 150

Сначала разложим оба числа на простые множители. Для НОД пригодятся только общие множители, причём в наименьшем количестве; для НОК понадобятся множители обоих разложений в наибольшем количестве. Такой выбор даёт соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

1. 84 = 2² · 3 · 7, а 150 = 2 · 3 · 5².
2. Общие простые множители — 2 и 3; для каждого берём меньшую степень: НОД(84, 150) = 2 · 3 = 6.
3. Для НОК берём все множители с наибольшими степенями: НОК(84, 150) = 2² · 3 · 5² · 7.
4. Вычисляем: 4 · 3 · 25 · 7 = 2100.

Проверка: 84 делится на 6, 150 делится на 6, а 2100 делится и на 84, и на 150. Ответ: НОД равен 6, НОК равен 2100.

Типичные ошибки

• Считать 1 простым числом — ошибка: у него один делитель, тогда как у простого их должно быть ровно два. Обычно путают условие «делится только на себя и на 1» и не проверяют, различны ли эти делители. Проверьте их количество: для 1 нельзя получить два разных натуральных делителя.

• Объявлять число простым после проверки лишь нескольких маленьких чисел недостаточно. Можно пропустить делитель, который больше уже проверенных, но не превосходит квадратного корня числа. Для самопроверки вычислите √n и проверьте все простые делители до этой границы.

• Остановить разложение на составном множителе нельзя: произведение должно состоять только из простых чисел. Ошибка возникает, когда найденный множитель принимают за окончательный, не проверив его делители. Проверяйте каждый множитель отдельно и продолжайте разложение, пока все множители не окажутся простыми.

• Разложения с разным порядком множителей не являются разными разложениями. Например, 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3 отличаются только перестановкой, а произведение от неё не меняется. Для проверки сравните набор простых множителей и их количества, а не последовательность записи.

Связь с другими темами

Для работы с простыми числами нужны навыки делимости натуральных чисел, деления с остатком и применения признаков делимости. Разложения используют, чтобы находить НОД и НОК, а также сокращать дроби: общие простые множители числителя и знаменателя можно сократить. Эта тема подготавливает к изучению свойств делимости и задач теории чисел, где важно понимать, из каких простых множителей состоит число.

Что запомнить

• Простое число больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя.
• Составное число больше 1 и имеет делитель, отличный от 1 и самого числа.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Для проверки простоты числа достаточно проверить делители до его квадратного корня.
• Каждое натуральное число больше 1 раскладывается на простые множители.
• Разложение на простые множители единственно с точностью до порядка множителей.