§ 17. Многочлены от одной переменной. Метод неопределенных коэффициентов

Определения и обозначения

Многочлен от одной переменной — выражение вида a₀ + a₁x + … + aₙxⁿ, где aᵢ — числа, а показатели степеней x — целые неотрицательные числа. Например, 4x³ − x + 2 — многочлен, а 1/x и √x — нет: в них переменная имеет соответственно отрицательную и дробную степень. Это определение помогает отличать многочлены от других выражений с переменной.

Степень многочлена — наибольший показатель переменной, при котором коэффициент не равен нулю. Например, степень 5x⁴ − 2x + 1 равна 4. Нулевой многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, рассматривают отдельно: его степень обычно не определяют.

Коэффициент — число, стоящее при соответствующей степени переменной: в выражении 3x² − 2x + 5 коэффициенты равны 3, −2 и 5. Коэффициент при старшей степени называют старшим, а коэффициент при x⁰ — свободным членом. Эти названия позволяют кратко описывать строение многочлена и сравнивать его с другими.

Тождество многочленов — равенство, верное при всех значениях переменной. Оно равносильно равенству коэффициентов при одинаковых степенях: например, если два многочлена тождественно равны, коэффициенты при x² в них совпадают. Это свойство позволяет заменять равенство выражений системой уравнений для коэффициентов.

Как это устроено

Чтобы удобно исследовать многочлен, его приводят к стандартному виду: раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и располагают степени по убыванию. Причина проста: пока одинаковые степени записаны в разных местах, их коэффициенты не видны сразу. После упрощения можно без лишних вычислений определить степень, старший коэффициент и свободный член.

При сложении многочленов складывают коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому степень суммы может оказаться меньше степеней слагаемых: например, члены наибольшей степени могут сократиться. При умножении перемножаются старшие члены; если произведение их коэффициентов ненулевое, показатели степеней складываются, так как xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ.

Равенство коэффициентов следует из того, что тождественные многочлены можно перенести в одну сторону: их разность будет равна нулю при любом x. Ненулевой многочлен не может принимать нулевое значение при всех значениях переменной, поэтому разность должна иметь все коэффициенты, равные нулю. Значит, исходные коэффициенты при одинаковых степенях совпадают.

Метод неопределённых коэффициентов используют, когда нужно найти неизвестные параметры в разложении или тождестве. Сначала предполагают нужный вид, например произведение скобок с буквами вместо неизвестных чисел. Затем раскрывают скобки и записывают равенства коэффициентов при одинаковых степенях. Так поиск разложения превращается в решение уравнений.

Число неизвестных параметров важно сопоставить с числом независимых уравнений: каждое сравнение коэффициентов может дать одно условие. Полученную систему решают, после чего найденные значения подставляют в исходное выражение. Проверка нужна потому, что даже при верном методе легко ошибиться при раскрытии скобок или решении системы.

Основные характеристики многочлена

Пользуйтесь таблицей после приведения выражения к стандартному виду: так не пропустите сокращение старших членов. Для тождества сначала убедитесь, что равенство должно выполняться при любом x, а не только при нескольких выбранных значениях. Подстановка x = 0 удобна для проверки свободного члена.

Разбор задач

Задача 1. Найдите степень и коэффициенты многочлена 3x² − 2x + 5.

1. Многочлен уже записан по убыванию степеней, поэтому сначала ничего раскрывать и упрощать не нужно.
2. Наибольшая степень с ненулевым коэффициентом — 2. Значит, степень многочлена равна 2, а старший коэффициент равен 3.
3. Коэффициенты при x и x⁰ равны −2 и 5. Поэтому свободный член равен 5.

Ответ: степень 2; коэффициенты 3, −2, 5; старший коэффициент 3, свободный член 5.

Задача 2. Найдите a и b, если (x + 1)(x + 2) = x² + ax + b при всех x.

1. Поскольку равенство задано для всех x, это тождество, и коэффициенты при одинаковых степенях можно сравнить.
2. Раскроем скобки слева: (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2.
3. Сравним с x² + ax + b: при x коэффициенты дают a = 3, а свободные члены — b = 2. Коэффициенты при x² уже совпадают.

Ответ: a = 3, b = 2. Проверка: после подстановки получаем x² + 3x + 2 в обеих частях.

Задача 3. Представьте x⁴ + 2x³ − x² + 3x + 1 в виде (x² + ax + b)(x² + cx + d), найдя подходящие коэффициенты.

1. Введём неизвестные коэффициенты a, b, c, d и раскроем произведение: x⁴ + (a + c)x³ + (ac + b + d)x² + (ad + bc)x + bd.
2. Сравнение с заданным многочленом даёт систему: a + c = 2; ac + b + d = −1; ad + bc = 3; bd = 1. Здесь коэффициент при x⁴ уже равен 1 в обеих частях.
3. Систему решают, подбирая значения, которые одновременно удовлетворяют всем четырём условиям. Например, при поиске целых коэффициентов из bd = 1 следуют пары (1, 1) и (−1, −1); проверка остальных уравнений показывает, что ни одна пара не подходит. Значит, целые a, b, c, d здесь не подходят; если коэффициенты не ограничены целыми, систему следует решать в выбранной области чисел.

Ответ: при целых коэффициентах разложения такого вида нет. Сравнение коэффициентов задаёт систему условий, а проверка всех её уравнений не позволяет принять вариант, который удовлетворяет только части условий.

Типичные ошибки

Иногда степенью называют наибольший показатель, даже если его коэффициент после упрощения стал нулём. Так происходит, когда забывают сначала привести подобные слагаемые. Раскройте скобки и упростите выражение; степень определяйте по наибольшей оставшейся ненулевой степени.

Приравнивать коэффициенты можно не в любом равенстве выражений, а только в тождестве. Если равенство верно лишь при отдельных значениях x, коэффициенты могут быть разными. Проверьте условие задачи: оно должно говорить о верности при всех x.

Если сравнивать коэффициенты до раскрытия скобок и приведения подобных, можно получить неверные уравнения. Причина в том, что один и тот же член после раскрытия может складываться с другими членами такой же степени. Сначала полностью упростите обе части, затем сравнивайте одноимённые степени.

Найденные параметры иногда сразу записывают в ответ, не проверяя. При решении системы легко допустить вычислительную ошибку или забыть одно из условий. Подставьте значения в исходное тождество и проверьте, что после раскрытия скобок обе части совпадают.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужны навыки раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и решения систем линейных уравнений. Степень связана со степенными функциями и делимостью многочленов: она описывает старший порядок выражения и помогает оценивать результат операций. Сравнение коэффициентов используют при разложении на множители и доказательстве тождеств.

Знание корней многочлена и теоремы Безу помогает предположить, на какие множители его можно разложить. После выбора формы разложения неизвестные коэффициенты находят сравнением коэффициентов. Так сведения о корнях подсказывают идею, а метод неопределённых коэффициентов позволяет её проверить.

Что запомнить

• Многочлен записывают как сумму степеней переменной с числовыми коэффициентами.
• Степень многочлена определяется старшим ненулевым членом.
• Свободный член — коэффициент при x⁰.
• Тождество многочленов означает равенство при всех значениях переменной.
• В тождестве коэффициенты при одинаковых степенях равны.
• Метод неопределённых коэффициентов сводит поиск неизвестных коэффициентов к системе уравнений.
• Найденные коэффициенты следует проверить в исходном равенстве.