"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Деление многочленов с остатком позволяет представить многочлен A(x) в виде A(x) = B(x)Q(x) + R(x), где B(x) — ненулевой делитель, Q(x) — частное, а степень R(x) меньше степени B(x). Такой алгоритм нужен для разложения многочленов, проверки делимости и решения уравнений. Частное и остаток определяются однозначно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимое — многочлен, который представляют в виде суммы произведения делителя на частное и остатка. Обычно его обозначают A(x). Это исходное выражение, которое нужно разложить с помощью деления.
Делитель — ненулевой многочлен, на который выполняют деление; его обозначают B(x). Он задаёт множитель, с которым сравнивают степени и который умножают на каждый найденный член частного.
Частное — многочлен Q(x), показывающий результат деления с точностью до остатка. Он собирается постепенно: каждый его член получается из старших членов текущего делимого и делителя.
Остаток — многочлен R(x) меньшей степени, чем делитель, который добавляют к произведению делителя и частного. Это часть делимого, которую уже нельзя убрать ещё одним шагом деления; если её нет, остаток равен нулю.
Результат деления записывают так: A(x) = B(x)Q(x) + R(x). Такое равенство означает, что делимое состоит из произведения делителя на частное и оставшейся части. Условие deg R(x) < deg B(x) нужно, чтобы процесс действительно завершился: иначе остаток можно было бы делить дальше.
Первый член частного получают делением старшего члена делимого на старший член делителя. Старшие члены определяют наибольшие степени, поэтому именно их нужно устранить в первую очередь. Например, при делении 3x⁴ на x² первый член частного равен 3x².
Найденный член частного умножают на весь делитель, а результат вычитают из текущего делимого. При этом старшие члены уничтожаются, потому что были подобраны как противоположные по отношению к исходному старшему члену. Поэтому степень нового многочлена становится меньше, если старшие слагаемые действительно сократились.
Затем ту же процедуру повторяют с получившимся многочленом. На каждом шаге находят новый старший член частного, умножают его на делитель и выполняют вычитание. Деление останавливают тогда, когда степень оставшегося многочлена меньше степени делителя.
Частное и остаток единственны, потому что на каждом шаге старший член частного определяется однозначно. Если бы существовали два разных разложения, после их вычитания ненулевой многочлен степени не меньше степени делителя оказался бы равен многочлену меньшей степени, что невозможно. Остаток равен нулю тогда и только тогда, когда делимое представляется как B(x)Q(x) без добавочного слагаемого.
| Элемент или условие | Обозначение | Что означает | Как проверить |
|---|---|---|---|
| Делимое | A(x) | Многочлен, который раскладывают | Стоит в левой части равенства |
| Делитель | B(x) | Ненулевой многочлен, на который делят | Его степень больше степени остатка |
| Частное | Q(x) | Многочлен, полученный в ходе деления | B(x) умножается на Q(x) |
| Остаток | R(x) | Неразложившаяся часть делимого | deg R(x) < deg B(x) |
| Основное равенство | A(x) = B(x)Q(x) + R(x) | Результат деления с остатком | Подстановка найденных многочленов даёт исходное делимое |
| Деление без остатка | R(x) = 0 | Делимое представляется как произведение делителя и частного | Делитель является множителем делимого |
Таблица помогает быстро сопоставить роль каждого многочлена с его обозначением. После решения сначала проверьте равенство A(x) = B(x)Q(x) + R(x), а затем отдельно сравните степени остатка и делителя.
Для нулевого остатка условие о его степени считают выполненным автоматически. В таком случае достаточно убедиться, что произведение делителя и частного в точности равно делимому.
Разделим x³ − 5x² + 2x + 8 на x − 2. Здесь делитель имеет степень 1, поэтому в конце остаток должен быть постоянным или нулевым. Пропущенных степеней в делимом нет.
Ответ: Q(x) = x² − 3x − 4, R(x) = 0. Проверка: (x − 2)(x² − 3x − 4) = x³ − 5x² + 2x + 8.
Выполним деление 2x⁴ − 3x³ + x − 5 на x² − x + 1. Член 0x² нужно учитывать, даже если его не записывают в условии. Остаток в конце должен иметь степень меньше 2, то есть быть линейным или постоянным.
Ответ: Q(x) = 2x² − x − 3, R(x) = −x − 2. Проверка: (x² − x + 1)(2x² − x − 3) − x − 2 = 2x⁴ − 3x³ + x − 5.
Проверим, существует ли такое a, чтобы x⁴ + ax³ − 2x² + 3x − 1 делился на x² − 1 без остатка. При делении на x² − 1 можно заменить x² на 1, поэтому x⁴ = 1 и x³ = x. Это сразу позволяет найти остаток и проверить совместимость условий.
Ответ: такого значения a не существует, поэтому частное при указанном условии найти нельзя. Проверка через корни даёт тот же вывод: A(1) = a + 1 и A(−1) = −a − 5 не могут одновременно обращаться в ноль.
Некоторые продолжают деление, когда степень остатка уже меньше степени делителя, потому что ориентируются на наличие ненулевых слагаемых. Например, линейный остаток нельзя делить дальше на квадратный делитель. Проверяйте именно степени, а не то, остались ли в выражении члены.
Распространённая ошибка — неверные знаки при вычитании произведения. Её допускают, когда вычитают только первый член или забывают поменять знаки у всей скобки. Раскройте скобки перед вычитанием и затем приведите подобные слагаемые.
Пропущенные степени иногда не записывают и из-за этого сопоставляют не те члены. В многочлене 2x⁴ − 3x³ + x − 5 отсутствует x², значит нужно учитывать 0x². Записывайте коэффициенты по порядку степеней, особенно при проверке.
Последний ненулевой многочлен не всегда является правильным остатком. Он должен иметь меньшую степень, чем делитель, а равенство A(x) = B(x)Q(x) + R(x) обязано выполняться. Поэтому завершайте решение двумя проверками: сравните степени и восстановите делимое.
До деления многочленов нужно уметь складывать, вычитать и умножать многочлены, раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и сравнивать степени. Эти навыки используются в каждом шаге алгоритма.
Деление помогает раскладывать многочлены на множители, проверять делимость и решать уравнения высших степеней. Если остаток нулевой, найденный делитель становится множителем.
Дальше этот материал используется в теореме Безу, схеме Горнера и при преобразовании рациональных дробей. Во всех этих темах важно быстро находить частное и остаток.
Почему степень остатка должна быть меньше степени делителя?
Если степень остатка не меньше степени делителя, из него можно вычесть ещё одно произведение делителя на подходящий одночлен. Значит, деление ещё не закончено.
Что делать, если в делимом пропущена степень переменной?
Нужно мысленно или письменно поставить соответствующий член с нулевым коэффициентом. Например, x⁴ + 2x − 1 записывают как x⁴ + 0x³ + 0x² + 2x − 1.
Как не ошибиться со знаками при вычитании?
Сначала полностью раскройте скобки в произведении делителя на найденный член частного, а затем меняйте знаки у всех его слагаемых при вычитании. После каждого шага приведите подобные слагаемые.
Как проверить найденные частное и остаток?
Умножьте делитель на частное и прибавьте остаток. Полученный многочлен должен совпасть с делимым, а степень остатка — быть меньше степени делителя.
Когда говорят, что многочлен делится нацело?
Многочлен делится нацело на другой многочлен, если остаток равен нулю. Тогда делимое представляется только как произведение делителя и частного.
§ 18. Деление многочленов с остатком
