§ 19. Теорема Безу и ее следствия. Совпадение формального и функционального равенства многочленов

Определения и обозначения

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен значению P(a). Это позволяет заменить деление подстановкой и быстро получить остаток.

Корнем многочлена P(x) называют число a, для которого P(a) = 0. Знание корней помогает находить линейные множители и решать уравнения, связанные с многочленом.

Формальное равенство многочленов означает совпадение коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Например, x² + 3x + 1 и x² + 3x + 1 формально равны, потому что их записи совпадают по коэффициентам.

Функциональное равенство многочленов означает, что два многочлена дают одинаковые значения при каждом допустимом значении переменной. Для многочленов допустимы все действительные значения x, поэтому проверять такое равенство нужно на всей числовой прямой.

Как это устроено

При делении многочлена P(x) на x − a частное обозначим через Q(x), а остаток — через r. Делитель имеет первую степень, поэтому остаток должен иметь степень меньше первой, то есть быть просто числом. Получаем запись P(x) = (x − a)Q(x) + r.

Чтобы узнать r, подставим в это равенство x = a. Тогда множитель a − a равен нулю, произведение (a − a)Q(a) исчезает, и остаётся P(a) = r. Значит, остаток можно найти без деления столбиком: достаточно вычислить значение многочлена в точке a.

Из теоремы Безу следует критерий корня. Если P(a) = 0, то остаток равен нулю, а значит, P(x) делится на x − a без остатка. Обратно, если делимость есть, остаток равен нулю, поэтому P(a) = 0 и число a является корнем.

Так теорема превращает проверку корня в короткую подстановку. Если найдено P(a) = 0, можно записать P(x) = (x − a)Q(x), а затем найти частное Q(x) делением или подбором коэффициентов. Полученный множитель уменьшает степень многочлена и упрощает дальнейшее разложение.

Формальное равенство сравнивает сами записи и их коэффициенты, а функциональное — результаты вычислений. Для многочленов над бесконечным множеством чисел эти понятия совпадают: если разность двух многочленов равна нулю при всех x, у неё бесконечно много корней. Ненулевой многочлен не может иметь бесконечно много корней, значит, разность является нулевым многочленом, а все коэффициенты совпадают.

Теорема Безу и виды равенства многочленов

Сначала определите, какое условие дано: значение, нулевой остаток, совпадение коэффициентов или совпадение значений. Затем двигайтесь по соответствующей строке к выводу. Особенно полезны первые три строки: они связывают подстановку, корень и делимость.

Разбор задач

Задача 1. Остаток при делении

Найти остаток от деления P(x) = x³ − 2x + 5 на x − 2. Делитель имеет вид x − a, поэтому a = 2, а остаток можно получить по теореме Безу.

1. Вычислим значение многочлена в точке 2: P(2) = 2³ − 2 · 2 + 5.
2. Выполним действия: P(2) = 8 − 4 + 5 = 9. Это значение и есть остаток, поэтому делить многочлен столбиком не требуется.

Ответ: 9.

Задача 2. Корень и разложение

Проверить, является ли −1 корнем P(x) = x³ + 2x² − x − 2, и если да, разложить многочлен на множители. Числу −1 соответствует делитель x − (−1) = x + 1.

1. Проверим значение: P(−1) = (−1)³ + 2(−1)² − (−1) − 2 = −1 + 2 + 1 − 2 = 0.
2. Так как P(−1) = 0, по теореме Безу многочлен делится на x + 1. Делим x³ + 2x² − x − 2 на x + 1 и получаем частное x² + x − 2.
3. Разложим квадратный трёхчлен: x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2). Следовательно, P(x) = (x + 1)(x − 1)(x + 2).

Ответ: −1 — корень; P(x) = (x + 1)(x − 1)(x + 2).

Задача 3. Нахождение коэффициентов

Пусть P(x) = x³ + ax² + bx − 6 делится на x − 1 и x − 2. Делимость на каждый двучлен означает, что соответствующее число является корнем: P(1) = 0 и P(2) = 0.

1. Подставим 1: P(1) = 1 + a + b − 6 = 0, откуда a + b = 5.
2. Подставим 2: P(2) = 8 + 4a + 2b − 6 = 0, откуда 4a + 2b = −2, или 2a + b = −1.
3. Вычтем первое уравнение из второго: a = −6. Тогда b = 5 − a = 11.

Ответ: a = −6, b = 11.

Типичные ошибки

При делении на x − a иногда подставляют −a. Ошибка возникает из-за внешнего знака минус, но корень двучлена x − a равен именно a: a − a = 0. Проверьте себя, подставив найденное число в делитель.

Некоторые считают, что P(a) — это частное. На самом деле по теореме Безу P(a) является остатком, а частное обозначается Q(x). Проверка проста: в равенстве P(x) = (x − a)Q(x) + r число r не зависит от x.

Нельзя говорить, что x − a — корень многочлена. Корнем является число a, а x − a — линейный множитель, если P(a) = 0. Чтобы не путаться, сначала вычислите значение P(a), а затем запишите соответствующий множитель.

Равенство значений в одной точке не доказывает равенство многочленов. Например, разные многочлены могут случайно иметь одинаковое значение при x = 1. Для функционального равенства нужно совпадение при всех допустимых x.

Связь с другими темами

До изучения теоремы Безу нужны деление многочлена с остатком, подстановка значения переменной и разложение на множители. Эти действия образуют основу доказательства и применения теоремы.

Теорема Безу помогает искать корни и раскладывать многочлены, в том числе при решении уравнений высших степеней. Найденный корень даёт линейный множитель и уменьшает степень выражения.

Различие формального и функционального равенств связано с тождественными преобразованиями. Оно объясняет, почему равенство многочленов можно доказывать либо сравнением коэффициентов, либо проверкой тождественного совпадения значений.

Что запомнить

• Остаток от деления P(x) на x − a равен P(a).
• Число a — корень P(x) тогда и только тогда, когда P(a) = 0.
• Если P(a) = 0, то P(x) делится на x − a.
• Если P(x) делится на x − a, то P(a) = 0.
• Формальное равенство многочленов означает совпадение соответствующих коэффициентов.
• Функциональное равенство означает совпадение значений при всех допустимых x.
• Над бесконечным множеством равенство многочленов как функций влечёт их формальное равенство.