5.1. Понятие многочлена

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового коэффициента и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. Например, −3x²y и 5a — одночлены, а число 7 тоже можно считать одночленом. Понятие помогает проверять, из каких выражений можно составить многочлен.

Многочлен — это сумма одночленов, а сами одночлены в этой сумме называются членами многочлена. Например, в записи 2x² − 4x + 3 три члена: 2x², −4x и 3. Название каждого члена важно, когда нужно объединять слагаемые или находить степень выражения.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой сначала приведены подобные слагаемые, а затем члены расположены по убыванию степеней. Подобные слагаемые — это одночлены с одинаковыми переменными в одинаковых степенях, например 3x и −5x. Стандартный вид делает выражение понятным для дальнейших действий.

Степень многочлена — наибольшая степень входящих в него одночленов после приведения подобных членов. Степень одночлена с несколькими переменными находят сложением показателей: степень 4x²y равна 2 + 1 = 3. Степень многочлена показывает, какой член является старшим, и её определяют уже после упрощения.

Как это устроено

Многочлен составляют, соединяя одночлены знаками сложения и вычитания. Вычитание можно понимать как сложение противоположного одночлена: например, 3x − 2x означает 3x + (−2x). Поэтому каждый член нужно рассматривать вместе со своим знаком, а не только как запись букв и чисел.

Скобки и знак перед ними показывают, как именно входят одночлены в выражение. Если перед скобками стоит плюс, знаки внутри сохраняются: 2x + (x − 3) = 2x + x − 3. Если стоит минус, знаки всех членов меняются: 2x − (x − 3) = 2x − x + 3. Это нужно, чтобы не изменить значение выражения при раскрытии скобок.

Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки с учётом знаков, затем находят подобные члены и складывают их коэффициенты. Например, в 4x² − 3x + 7 − 2x² + 5x − 1 пары подобных членов — это 4x² и −2x², −3x и 5x, 7 и −1. После объединения записывают результат по убыванию степеней: 2x² + 2x + 6. Такой порядок помогает сразу увидеть старший член.

Степень определяют после приведения подобных членов, потому что одинаковые члены могут сократиться или объединиться. Например, в выражении x³ − x³ + 2x² кубические члены взаимно уничтожаются, и остаётся 2x²; степень результата равна 2, а не 3. Значит, максимальная степень в исходной записи не всегда является степенью многочлена.

Проверяя, является ли выражение многочленом, рассмотрите каждый его член. Переменная может иметь только неотрицательный целый показатель: x² подходит, а x⁻¹ и x⁰·⁵ — нет. Поэтому 4/x содержит переменную в знаменателе, а √x равносильно x¹⁄²; оба выражения не являются многочленами. Числовые множители и переменные под корнем, если показатель не целый, требуют особенно внимательной проверки.

Основные элементы многочлена

Таблица помогает различать одночлен, его коэффициент и член многочлена: это не одно и то же. Чтобы найти степень, сначала приведите выражение к стандартному виду. Затем сравните степени оставшихся членов.

Разбор задач

1. Определить, какие выражения являются многочленами, и назвать их члены

Условие: 3x² − 5x + 1, 4/x + 2, √x + 1, −7a³b. Проверяем каждый член: показатель переменной должен быть целым и неотрицательным. При этом числовой коэффициент может быть отрицательным.

1. В выражении 3x² − 5x + 1 все три члена имеют допустимые показатели. Это многочлен с членами 3x², −5x и 1.
2. В 4/x переменная стоит в знаменателе, то есть x имеет показатель −1. Выражение 4/x + 2 не является многочленом.
3. В √x показатель x равен ½. Поэтому √x + 1 не является многочленом.
4. В −7a³b показатели равны 3 и 1, значит, это одночлен и одновременно многочлен из одного члена.

Ответ: многочлены — 3x² − 5x + 1 и −7a³b. Члены первого: 3x², −5x, 1; у второго один член: −7a³b.

2. Привести многочлен к стандартному виду и назвать его степень

Условие: 4x² − 3x + 7 − 2x² + 5x − 1. Сначала выделим слагаемые с одинаковой буквенной частью: отдельно с x², отдельно с x и отдельно числа. Так проще проверить, что ни один знак не потерян.

1. Соберём квадратичные члены: 4x² − 2x² = 2x².
2. Объединим линейные члены: −3x + 5x = 2x.
3. Сложим числа: 7 − 1 = 6.
4. Запишем результат по убыванию степеней: 2x² + 2x + 6. Наибольшая степень его членов равна 2.

Ответ: стандартный вид — 2x² + 2x + 6, степень многочлена — 2.

3. Найти значение многочлена при x = −2 и указать его степень

Условие: 2x³ − 5x² + x − 4 при x = −2. Здесь уже записан многочлен, а наибольшая степень переменной в его членах равна 3. При подстановке важно заменить каждую x числом −2 и заключить его в скобки.

1. Подставим значение: 2·(−2)³ − 5·(−2)² + (−2) − 4.
2. Вычислим степени: (−2)³ = −8, а (−2)² = 4. Получим 2·(−8) − 5·4 − 2 − 4.
3. Выполним умножение: −16 − 20 − 2 − 4 = −42.
4. Степень исходного многочлена равна 3, потому что его старший член 2x³ и он не сокращается с другими членами.

Ответ: значение многочлена равно −42, его степень равна 3.

Типичные ошибки

Выражение с переменной в знаменателе иногда принимают за многочлен, потому что оно похоже на обычную дробь с числовым коэффициентом. Но 1/x = x⁻¹, а отрицательный показатель запрещён. Проверьте, не превращается ли переменная в знаменателе в степень с отрицательным показателем.

Слагаемые могут ошибочно называть коэффициентами, хотя коэффициент — только числовой множитель. Например, у одночлена 6x² коэффициент равен 6, а весь член — 6x². Для проверки спросите себя: называю я число или произведение числа и переменных?

Степень иногда определяют по самому большому показателю в исходной записи, не объединяя подобные члены. Если члены с наибольшей степенью взаимно уничтожаются, степень результата станет меньше. Сначала упростите многочлен, а потом найдите степень старшего оставшегося члена.

При раскрытии скобок или приведении подобных слагаемых легко потерять знак минус. Например, −(x − 3) равно −x + 3, а не −x − 3. Перепишите знаки каждого члена отдельно и проверьте результат подстановкой простого числа, например x = 1.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами пригодятся свойства степеней, умение распознавать одночлены, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Без этих навыков трудно получить стандартный вид и правильно определить степень. Позже многочлены складывают, вычитают и умножают, используя знакомые правила действий. Умение преобразовывать их также понадобится при разложении на множители, изучении тождеств и решении уравнений.

Что запомнить

• Многочлен — это сумма одночленов.
• Каждое слагаемое многочлена называется его членом.
• В многочлене показатели переменных являются неотрицательными целыми числами.
• Подобные члены можно объединять, складывая их коэффициенты.
• Стандартный вид получают после приведения подобных членов и упорядочивания по степеням.
• Степень многочлена — наибольшая степень его ненулевого члена в стандартном виде.