5.2. Свойства многочленов

Определения и обозначения

Многочлен стандартного вида — запись многочлена после приведения подобных слагаемых и расположения одночленов по убыванию степеней переменной. Например, 3x − 2 + 5x² записывают как 5x² + 3x − 2. Такая запись нужна, чтобы быстро видеть состав многочлена и сравнивать его с другими.

Степень многочлена — наибольшая степень переменной среди его ненулевых одночленов. Например, в 4x³ − 2x + 1 степень равна 3. Степень помогает описать многочлен и, в частности, ограничивает число его корней.

Значение многочлена — число, которое получается, если вместо переменной подставить конкретное число и выполнить действия. Например, при x = 2 значение 3x + 1 равно 7. Это понятие нужно, чтобы проверять вычисления и выяснять, является ли число корнем.

Корень многочлена — такое значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 — корень многочлена x − 2, потому что при подстановке получается 0. Корни позволяют находить решения уравнений, в которых многочлен приравнен к нулю.

Как это устроено

Один и тот же многочлен можно записать по-разному: например, 3x + 5x² − 2 и 5x² + 3x − 2. Чтобы запись была удобной для сравнения, сначала складывают коэффициенты подобных слагаемых, то есть членов с одинаковой переменной в одинаковой степени, а затем упорядочивают члены по степеням. После этого каждой степени соответствует не более одного члена. Поэтому стандартный вид даёт однозначную запись многочлена.

Степень находят по самому старшему члену, у которого коэффициент не равен нулю: именно он задаёт наибольшую степень переменной в записи. Например, у 2x⁴ + 3x² степень равна 4, а член с x³ отсутствует и на результат не влияет. Если после сокращения все члены исчезли, получился нулевой многочлен, у которого нет ненулевого старшего члена. Поэтому его степень нельзя определить обычным способом: для нулевого многочлена используют отдельное соглашение.

Чтобы найти значение многочлена, заменяют переменную заданным числом, а затем выполняют действия по обычному порядку: сначала степени, потом умножение и деление, затем сложение и вычитание. Если подставляется отрицательное число, его заключают в скобки, например (−2)² = 4. Скобки показывают, что знак минус относится ко всему подставленному числу. Такой порядок помогает не перепутать знаки и получить верное значение.

Равные многочлены могут выглядеть по-разному до упрощения, поэтому сравнивать их нужно в стандартном виде. После приведения подобных слагаемых у каждого выражения есть коэффициент при каждой степени: при x², при x, свободный член и так далее. Если многочлены равны при любом значении переменной, соответствующие коэффициенты должны совпадать. И наоборот, одинаковые коэффициенты при всех степенях дают одну и ту же запись и одно и то же значение при любой подстановке.

У ненулевого многочлена степени n не может быть больше n корней. Причина в том, что каждый различный корень даёт множитель вида x − a, где a — этот корень: при подстановке x = a множитель обращается в нуль. Если таких множителей было бы больше n, степень произведения оказалась бы больше степени исходного многочлена. Значит, для многочлена третьей степени возможны максимум три корня, хотя корней может быть и меньше.

Основные свойства многочленов

Пользуйся таблицей как краткой проверкой: сначала выясни, какое свойство нужно применить, затем сверься с его формулировкой. В иллюстрациях показано, как правило работает на конкретной записи. Особенно внимательно проверяй, не сократились ли старшие члены при сложении.

Разбор задач

Задача 1. Привести многочлен 4x − 3 + 2x² − 7x + 5 к стандартному виду, назвать его степень и найти значение при x = −1.

1. Сначала соберём подобные слагаемые: члены с x дают 4x − 7x = −3x, свободные числа дают −3 + 5 = 2. Член 2x² остаётся без изменений.
2. Расположим оставшиеся члены по убыванию степеней: получаем 2x² − 3x + 2. Старший ненулевой член — 2x², поэтому степень многочлена равна 2.
3. Для значения подставим x = −1, заключив число в скобки: 2 · (−1)² − 3 · (−1) + 2 = 2 + 3 + 2 = 7. Сначала вычислили квадрат, затем умножения и сложение.

Ответ: стандартный вид — 2x² − 3x + 2, степень — 2, значение при x = −1 равно 7.

Задача 2. Найти a, b и c, если 3x² − 5x + 7 = ax² + bx + c.

1. Обе части уже записаны в порядке убывания степеней, и подобных слагаемых объединять не нужно. Сравним члены при одинаковых степенях переменной.
2. При x² слева стоит коэффициент 3, а справа a, значит, a = 3. При x коэффициенты равны −5 и b, поэтому b = −5.
3. Свободные члены равны 7 и c, следовательно, c = 7. Проверка простой подстановкой этих значений превращает правую часть в 3x² − 5x + 7.

Ответ: a = 3, b = −5, c = 7.

Задача 3. Доказать, что многочлен x³ − 4x² − x + 4 имеет корни −1, 1 и 4, и объяснить, почему других корней у него быть не может.

1. Подставим −1: (−1)³ − 4 · (−1)² − (−1) + 4 = −1 − 4 + 1 + 4 = 0. Значит, −1 — корень.
2. Подставим 1: 1³ − 4 · 1² − 1 + 4 = 1 − 4 − 1 + 4 = 0. Подстановка 4 даёт 4³ − 4 · 4² − 4 + 4 = 64 − 64 = 0, поэтому 1 и 4 тоже корни.
3. Степень этого ненулевого многочлена равна 3. У многочлена третьей степени не может быть больше трёх корней, а три разных корня уже найдены.

Ответ: корни — −1, 1 и 4; других корней нет.

Типичные ошибки

Иногда нулевому многочлену приписывают степень последнего члена, который был в исходной записи. Но после сокращения все коэффициенты равны нулю, и старшего ненулевого члена нет. Проверяй результат упрощения: если получился нуль, степень нужно обсуждать по отдельному соглашению, а не по прежней записи.

Если не привести подобные слагаемые, можно неверно определить и стандартный вид, и степень. Например, в записи x² + 3x − x² старший член сокращается, поэтому степень не равна 2. Сначала объедини все члены одинаковой степени, а затем проверь, какой член остался старшим ненулевым.

Степень суммы считают равной наибольшей степени слагаемых, забывая о возможном сокращении. В выражении (x² + 1) + (−x² + 3) члены с x² уничтожают друг друга, и остаётся 4. Чтобы себя проверить, раскрой скобки, приведи подобные слагаемые и только после этого определи степень результата.

Корень иногда путают с коэффициентом: например, видят число 4 в многочлене и объявляют его корнем. Корень — это значение переменной, при котором всё выражение становится нулём, поэтому число нужно подставить и вычислить результат. Особо следи за знаком: при подстановке −1 записывай переменную как (−1), чтобы правильно возвести число в степень.

Связь с другими темами

Для работы со свойствами многочленов нужны знания об одночленах, подобных слагаемых, степенях с натуральным показателем и подстановке чисел в буквенные выражения. Эти умения помогают приводить многочлены к стандартному виду и находить их значения. Дальше свойства пригодятся при сложении, вычитании и умножении многочленов, а также при разложении на множители. Сравнение коэффициентов и поиск корней используются при решении уравнений и доказательстве тождеств.

Что запомнить

• Стандартный вид получают после приведения подобных слагаемых.
• Степень многочлена — наибольшая степень переменной с ненулевым коэффициентом.
• Значение многочлена находят подстановкой числа вместо переменной.
• Равные многочлены имеют одинаковые коэффициенты при соответствующих степенях.
• Степень суммы может уменьшиться из-за сокращения старших членов.
• Степень произведения ненулевых многочленов равна сумме их степеней.
• Ненулевой многочлен степени n имеет не более n корней.