"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Многочлен — это сумма одночленов, которую можно упростить и записать в стандартном виде. Для этого одночлены сначала приводят к стандартному виду, затем раскрывают скобки и объединяют подобные слагаемые. Подобными называют одночлены с одинаковой буквенной частью. Такая запись делает выражение короче, помогает находить степень многочлена и упрощает его сложение, вычитание и умножение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение числового множителя и буквенных множителей. В стандартном виде сначала записывают числовой коэффициент, а затем буквенную часть: 3a²b. Такая запись помогает сразу увидеть коэффициент и степени букв.
Многочлен — сумма одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Слагаемые многочлена называют его членами, например в 2x² − 3x + 1 три члена. Разбиение на члены нужно, чтобы работать с каждым слагаемым отдельно.
Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью. Например, 5a²b и −2a²b подобны, потому что в обоих случаях буквенная часть a²b. Их можно сложить или вычесть, выполняя это действие с коэффициентами.
Многочлен стандартного вида — многочлен, записанный как сумма одночленов стандартного вида, в которой подобные члены уже приведены. Например, 3x² + 2x − 1 соответствует этому виду. Такая запись позволяет не считать одно и то же слагаемое несколько раз.
Перед приведением многочлена к стандартному виду часто нужно раскрыть скобки. Распределительное свойство умножения переносит множитель к каждому слагаемому внутри скобок: a(b + c) = ab + ac. Пока скобки не раскрыты, одинаковые члены могут быть спрятаны в разных частях выражения, поэтому объединить их сразу нельзя.
При умножении одночленов отдельно перемножают числовые коэффициенты и буквенные множители. Для одинаковых букв применяют правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, потому что общее число одинаковых множителей равно сумме показателей. Например, 3a · 2a²b = 6a³b: коэффициенты дают 6, а множители a и a² — a³.
Слагаемые с одинаковой буквенной частью являются подобными, поскольку отличаются только числовыми коэффициентами. Их объединение сохраняет буквенную часть, а коэффициенты складываются: 4x² − 7x² = −3x². Это сокращает запись и не изменяет значения выражения.
Обычно многочлен приводят к стандартному виду в несколько шагов: раскрывают скобки, упрощают каждый одночлен, затем группируют подобные члены и складывают их коэффициенты. После вычислений записывают оставшиеся слагаемые с их знаками. Члены удобно располагать по убыванию степени, но для стандартного вида важнее именно отсутствие неприведённых подобных членов.
| Понятие или действие | Что нужно учитывать | Пример |
|---|---|---|
| Одночлен стандартного вида | Коэффициент ставят перед буквами, степени одинаковых букв объединяют. | 2a · 3a²b = 6a³b |
| Подобные одночлены | Буквенная часть должна быть полностью одинаковой. | 4x² и −x² |
| Приведение подобных членов | Складывают или вычитают только коэффициенты. | 4x² − x² = 3x² |
| Многочлен стандартного вида | Скобки раскрыты, одночлены упрощены, подобные члены объединены. | 3x² + 2x − 1 |
Сначала найдите в таблице нужное понятие или действие, а затем сравните его с примером. При проверке выражения задайте себе два вопроса: одинаковы ли буквенные части и не остались ли скобки, которые нужно раскрыть?
Порядок членов можно менять без изменения значения суммы. Для удобства часто сначала записывают слагаемые с самой высокой степенью, а затем с меньшей.
Нужно отдельно обработать числа и буквенные множители. Буква a встречается в двух множителях, поэтому её степени объединяются, а буква b остаётся без изменения.
Ответ: 6a³b.
Скобок нет, поэтому сразу ищем подобные члены. Члены с x² объединяются между собой, члены с x — между собой, а число 5 остаётся отдельно.
Ответ: 2x² + 2x + 5.
В первой скобке множитель 2x умножается на каждое слагаемое. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому при её раскрытии знаки всех слагаемых изменятся.
Ответ: 5x² + 2x − 2.
Складывают коэффициенты у разных буквенных частей. Так получают неверное равенство вроде 3a + 2b = 5ab. Ошибка возникает из-за того, что числа складывают отдельно от букв; проверьте, совпадает ли вся буквенная часть.
Перемножают показатели степеней. В результате ошибочно пишут a² · a³ = a⁶. Показатели складываются, потому что множители одной буквы объединяются в одну цепочку: a² · a³ = a⁵.
Забывают изменить знаки после минуса перед скобками. Например, −(x² − 4x + 2) нельзя раскрыть как −x² − 4x + 2. Проверьте каждый знак внутри скобок: при умножении на −1 он должен поменяться.
Только упорядочивают, но не приводят подобные члены. Запись 2x² + 3x² + 1 не является окончательно упрощённой, даже если степени стоят по порядку. Найдите одинаковые буквенные части и объедините их коэффициенты.
До этой темы нужны свойства действий с числами и буквенными выражениями, правила умножения одночленов и раскрытия скобок. Без них трудно правильно преобразовать каждый член многочлена.
Стандартная запись понадобится при сложении, вычитании и умножении многочленов. Сначала выражения приводят к удобному виду, а затем выполняют действие над их членами.
По стандартной записи проще определить степень многочлена: это наибольшая степень его членов. Также одинаково упорядоченные многочлены легче сравнивать.
Какие одночлены называются подобными?
Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, включая показатели степеней букв. Их коэффициенты могут быть разными, поэтому такие одночлены можно объединять.
Можно ли складывать одночлены с разными буквенными частями?
Складывать их как подобные нельзя. Например, 3a и 2b не превращаются в 5ab: это разные слагаемые, и их сумму обычно оставляют записанной так: 3a + 2b.
Как перемножать степени с одинаковыми основаниями?
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, a² · a³ = a⁵.
В каком порядке приводить многочлен к стандартному виду?
Сначала раскрывают скобки, затем приводят каждый одночлен к стандартному виду и объединяют подобные члены. После этого результат при желании упорядочивают по степеням.
Обязательно ли записывать члены многочлена по убыванию степеней?
Нет, это не обязательное условие стандартного вида. Главное, чтобы одночлены были записаны стандартно, а подобные члены были приведены.
5.3. Многочлены стандартного вида
