5.4. Сумма и разность многочленов

Определения и обозначения

Сумма многочленов — результат сложения двух или нескольких многочленов. Чтобы её получить, раскрывают скобки, сохраняют знаки слагаемых и объединяют подобные. Это нужно, чтобы заменить длинную запись более простым многочленом.

Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Вычитание удобно заменить сложением многочлена, противоположного вычитаемому. Так правило работы со скобками становится единым.

Противоположный многочлен получают, изменяя знак каждого его слагаемого. Для многочлена 2x² − x + 3 противоположным будет −2x² + x − 3. Он нужен при преобразовании разности в сумму.

Приведение подобных слагаемых — объединение слагаемых с одинаковой буквенной частью после раскрытия скобок. Складываются или вычитаются только коэффициенты, а буквенная часть сохраняется. Например, 4a² − a² = 3a².

Как это устроено

При сложении многочленов скобки можно раскрыть, потому что сложение каждой группы слагаемых распределяется по всем членам: A + (b + c) = A + b + c. Знаки внутри второй скобки при этом не меняются. После раскрытия скобок одинаковые буквенные части оказываются рядом и их можно объединить.

У подобных слагаемых буквенная часть одна и та же, поэтому меняются только коэффициенты. Например, 3x² + 5x² = (3 + 5)x² = 8x², а показатель степени не складывается. Если буквенные части разные, каждый такой член сохраняется отдельно.

Разность заменяют суммой по правилу A − B = A + (−B). Это верно, потому что прибавление противоположного числа или многочлена даёт тот же результат, что и вычитание исходного. Поэтому второй многочлен сначала мысленно умножают на −1.

При раскрытии скобок перед минусом знак меняется у каждого слагаемого: −(2x² − 3x + 1) = −2x² + 3x − 1. Нельзя менять знак только у первого члена, ведь минус относится ко всей скобке. После раскрытия скобок подобные слагаемые объединяют, а результат записывают по убыванию степеней: сначала члены с большей степенью, затем меньшей и свободный член.

Сложение и вычитание многочленов

Сначала определите, выполняется сложение или вычитание. Затем раскройте скобки по соответствующему правилу и найдите подобные слагаемые.

В конце проверьте знаки и расположите члены по степеням. Такая последовательность помогает не потерять слагаемое и не изменить его коэффициент.

Разбор задач

Задача 1

Упростим выражение (3x² − 2x + 5) + (x² + 4x − 7). Здесь выполняется сложение, поэтому знаки во второй скобке сохраняются. Затем объединим члены с одинаковыми буквенными частями.

1. Раскрываем скобки: 3x² − 2x + 5 + x² + 4x − 7.
2. Собираем подобные: (3x² + x²) + (−2x + 4x) + (5 − 7).
3. Складываем коэффициенты: 4x² + 2x − 2.

Ответ: 4x² + 2x − 2.

Задача 2

Упростим выражение (5a³ − 2a² + a − 6) − (2a³ + 3a² − 4a + 1). Перед второй скобкой стоит минус, поэтому изменится знак каждого её слагаемого. Только после этого можно привести подобные.

1. Заменяем вычитание сложением противоположного многочлена: 5a³ − 2a² + a − 6 − 2a³ − 3a² + 4a − 1.
2. Объединяем подобные: (5a³ − 2a³) + (−2a² − 3a²) + (a + 4a) + (−6 − 1).
3. Получаем 3a³ − 5a² + 5a − 7.

Ответ: 3a³ − 5a² + 5a − 7.

Задача 3

Найдём многочлен, который нужно прибавить к 4x³ − 3x² + 2x − 5, чтобы получить 7x³ + x² − 4x + 1. Неизвестное слагаемое равно требуемому результату минус известный многочлен. Такой подход сразу переводит задачу к разности многочленов.

1. Составляем разность: (7x³ + x² − 4x + 1) − (4x³ − 3x² + 2x − 5).
2. Меняем знаки во второй скобке: 7x³ + x² − 4x + 1 − 4x³ + 3x² − 2x + 5.
3. Приводим подобные: 3x³ + 4x² − 6x + 6.

Ответ: 3x³ + 4x² − 6x + 6.

Типичные ошибки

При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого второй скобки. Так происходит из-за восприятия минуса как знака ближайшего числа, хотя он относится ко всей скобке. Проверьте себя: перепишите каждый член вычитаемого с противоположным знаком.

Нельзя объединять неподобные слагаемые, например x² и x или 3a и 3b. Ошибка возникает, когда сравнивают только коэффициенты или название переменной, не учитывая всю буквенную часть. Для проверки сопоставьте переменные и их показатели степеней.

Некоторые складывают показатели степеней вместо коэффициентов: 2x² + 3x² превращают в x⁵. Показатель сохраняется, потому что складываются одночлены с одинаковой буквенной частью. Верная запись — (2 + 3)x² = 5x².

При переписывании скобок можно потерять знак или коэффициент, особенно у отрицательного или одночленного слагаемого. Такая ошибка меняет весь результат, даже если дальнейшее приведение выполнено верно. Пересчитайте члены исходных скобок и сверьте их с раскрытой записью.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать одночлены, многочлены, коэффициент, степень многочлена, подобные слагаемые и правила раскрытия скобок. Эти понятия позволяют правильно распознавать и объединять члены.

Сложение и вычитание нужны при упрощении выражений, решении уравнений и преобразовании формул. Без них трудно привести уравнение к удобному виду.

Дальше эти действия применяются при умножении многочленов, разложении на множители и преобразовании рациональных выражений. Уверенное раскрытие скобок станет основой следующих преобразований.

Что запомнить

• Сумму многочленов находят раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.
• При сложении знаки слагаемых сохраняются.
• Разность многочленов заменяют суммой уменьшаемого и противоположного многочлена.
• При раскрытии скобок перед минусом меняются знаки всех слагаемых внутри скобок.
• Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью.
• В результате подобные слагаемые объединяют, а многочлен записывают в стандартном виде.