"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Многочлены складывают и вычитают, чтобы упростить алгебраические выражения и подготовить их к дальнейшим вычислениям. Для этого раскрывают скобки, а затем объединяют подобные слагаемые — те, у которых одинаковая буквенная часть. При сложении знаки сохраняются, а при вычитании перед вторым многочленом ставят минус и меняют знаки всех его слагаемых. Результат обычно записывают по убыванию степеней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — алгебраическое выражение, состоящее из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, 2x² − 3x + 1 — многочлен из трёх слагаемых. Это понятие позволяет рассматривать несколько одночленов как одно выражение и выполнять действия сразу со всем выражением.
Подобные слагаемые — одночлены с одинаковой буквенной частью. Например, 3x и −5x подобны, а x и x² — нет. При приведении подобных слагаемых складывают или вычитают их коэффициенты, то есть числа перед буквами; так выражение становится короче и проще.
Сумма многочленов — результат сложения многочленов, который получают, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые. Например, при сложении 2x + 1 и 3x − 4 можно объединить слагаемые с x и отдельно числа. Это помогает представить результат в удобном для дальнейших вычислений виде.
Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Её можно записать как сумму уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому: A − B = A + (−B). Это представление помогает верно раскрыть скобки и не потерять знаки слагаемых.
Объединять можно только подобные слагаемые, потому что их буквенная часть совпадает. Например, 3x и 5x означают три и пять одинаковых частей x, поэтому вместе дают 8x. Но x и x² описывают разные выражения: у них различается степень буквы, и сложить их коэффициенты, чтобы получить одно слагаемое, нельзя.
Чтобы сложить многочлены, запиши каждое выражение в скобках, поставив между ними знак плюс. Скобки после плюса раскрываются без изменения знаков: плюс не меняет ни одного слагаемого. Затем сгруппируй подобные части и сложи их коэффициенты, а числа объедини отдельно; например, это позволяет не смешивать слагаемые с x и свободные числа.
Вычитание заменяют сложением противоположного многочлена, поскольку эти действия взаимно обратны. Противоположный многочлен получается, когда каждый коэффициент меняет знак, поэтому при раскрытии скобок минус действует на все слагаемые. Например, −(a² + 2a − 5) превращается в −a² − 2a + 5, а не только в выражение с изменённым первым знаком.
После раскрытия скобок результат приводят к стандартному виду: объединяют подобные слагаемые и располагают оставшиеся обычно по убыванию степеней букв. Так легче увидеть, есть ли ещё слагаемые с одинаковой буквенной частью. Если в выражении несколько букв, сравнивай буквенные части целиком: xy и x²y не подобны.
Проверка помогает обнаружить ошибку в знаке или коэффициенте. Сначала убедись, что плюс сохранил знаки, а минус перед скобками изменил знак каждого слагаемого. Затем отдельно выпиши коэффициенты при каждой одинаковой буквенной части и проверь их сложение; при вычитании можно также сложить полученную разность с вычитаемым и сравнить результат с уменьшаемым.
| Действие | Преобразование скобок | Что сделать после раскрытия скобок |
|---|---|---|
| Сложение многочленов | Скобки после знака плюс раскрываются без изменения знаков слагаемых | Привести подобные слагаемые |
| Вычитание многочленов | Перед скобками со вторым многочленом поставить минус и изменить знаки всех его слагаемых | Привести подобные слагаемые |
Пользуйся таблицей как коротким планом действий: сначала определи, складываешь ты многочлены или вычитаешь, и правильно раскрой скобки. Потом собери подобные слагаемые и проверь, что ни одна буквенная часть не потерялась.
Задача: найти сумму многочленов 3x + 2 и 5x − 7. При сложении не нужно менять знаки внутри второго многочлена. Сначала объединим части с x, затем отдельно числа.
Ответ: 8x − 5. Проверка по частям показывает, что коэффициенты при x сложены отдельно от чисел. Слагаемых, которые можно было бы ещё объединить, не осталось.
Задача: найти разность многочленов 4a² − 3a + 1 и a² + 2a − 5. Первое выражение является уменьшаемым, второе — вычитаемым. Поскольку перед вторым многочленом стоит минус, нужно изменить знаки всех его слагаемых.
Ответ: 3a² − 5a + 6. Знаки второго многочлена изменились все: у a² и 2a они стали отрицательными, а у −5 — положительным. Это главный шаг, который нужно проверить перед приведением подобных слагаемых.
Задача: упростить выражение (2x² − 3xy + y²) − (x² + 4xy − 2y²) + (3xy − y²). Здесь есть и вычитание, и сложение многочленов, поэтому важно определить знак каждой скобки. Слагаемые будем группировать по одинаковым буквенным частям.
Ответ: x² − 4xy + 2y². При проверке видно, что минус изменил знаки всех трёх слагаемых во второй скобке, а плюс перед последней скобкой знаки сохранил. Каждый набор подобных слагаемых учтён отдельно.
При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Так происходит, когда минус воспринимают как относящийся к ближайшей части, хотя он меняет весь вычитаемый многочлен. Проверяй каждое слагаемое отдельно: после минуса знаки должны стать противоположными.
Другая ошибка — складывать коэффициенты у неподобных слагаемых, например у x и x². Их объединяют по привычке считать буквенные слагаемые одинаковыми, не проверяя степени. Перед вычислением сравни всю буквенную часть; объединяй только совпадающие части.
После знака плюс иногда ошибочно меняют знаки внутри скобок. Это может произойти, если правило для минуса применяют к любым скобкам. Проверь знак перед каждой скобкой: плюс оставляет все знаки без изменений.
Можно забыть привести подобные слагаемые или потерять одно из них при группировке. Чтобы этого не случилось, выпиши отдельно все слагаемые с каждой буквенной частью и проверь их количество и коэффициенты. В конце убедись, что в ответе больше нет пар, которые можно объединить.
Перед сложением и вычитанием многочленов нужно уметь раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки уже знакомы по работе с алгебраическими выражениями и здесь применяются к нескольким многочленам. Если правила знаков вызывают затруднение, полезно сначала потренироваться на выражениях с обычными числами.
Умение складывать и вычитать многочлены понадобится при их умножении: перед дальнейшими действиями выражения часто упрощают. Оно также помогает преобразовывать алгебраические выражения и решать уравнения, где нужно собрать подобные слагаемые. Чем аккуратнее выполнено раскрытие скобок, тем проще следующие вычисления.
Почему при вычитании многочлена меняются знаки всех слагаемых?
Вычесть многочлен — значит прибавить многочлен, противоположный ему. У противоположного многочлена каждый коэффициент имеет противоположный знак, поэтому минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри.
Можно ли складывать слагаемые с разными степенями одной буквы?
Нет, такие слагаемые не являются подобными. Например, x и x² имеют разные буквенные части, поэтому их нельзя заменить одним слагаемым.
Нужно ли ставить многочлены в скобки при сложении?
Скобки удобно ставить, чтобы наглядно отделить слагаемые каждого многочлена. После знака плюс их можно раскрыть, не меняя знаков слагаемых.
Как проверить, что разность многочленов найдена правильно?
Проверьте, что перед вычитаемым многочленом изменён знак каждого его слагаемого. Затем отдельно сверьте коэффициенты при одинаковых буквенных частях и при желании сложите ответ с вычитаемым: должно получиться уменьшаемое.
В каком порядке записывать слагаемые в ответе?
Обычно слагаемые записывают по убыванию степеней букв. При этом сначала нужно объединить все подобные слагаемые, а затем расположить полученные слагаемые в удобном порядке.
§ 9. Сумма и разность многочленов
