2.2. Сумма и разность многочленов

Определения и обозначения

Многочлен — это выражение, состоящее из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания, например 3x² − 2x + 5. Каждый одночлен называют слагаемым многочлена. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие части выражения можно объединять при преобразованиях.

Сумма многочленов — выражение, полученное сложением двух или нескольких многочленов, например (x + 2) + (3x − 1). После сложения подобные слагаемые объединяют. Так длинная запись превращается в более простой многочлен.

Разность многочленов — выражение, полученное вычитанием одного многочлена из другого: A − B. Здесь важно учитывать знак каждого слагаемого вычитаемого многочлена. Определение помогает правильно раскрывать скобки перед приведением подобных слагаемых.

Противоположный многочлен — многочлен, сумма которого с исходным равна нулю. Для многочлена 2x² − 3x + 1 противоположным будет −2x² + 3x − 1. Он нужен, чтобы заменить вычитание сложением: A − B = A + (−B).

Как это устроено

Чтобы найти сумму многочленов, их слагаемые записывают в одной строке или друг под другом, а затем ищут подобные. У подобных слагаемых одинаковая буквенная часть, поэтому меняется только общий коэффициент. Например, 3x + 2x = 5x, потому что складываются числа 3 и 2, а буква x остаётся прежней.

При сложении скобки можно раскрыть, не меняя знаки слагаемых внутри: +(a − b) = a − b. Причина в том, что прибавление выражения не меняет его членов на противоположные. После раскрытия скобок все слагаемые оказываются в одной сумме, и среди них легче найти подобные.

Вычитание многочлена заменяют сложением противоположного. Поэтому перед второй скобкой ставят минус и меняют знак у каждого её слагаемого: −(a − b + c) = −a + b − c. Знак относится ко всему многочлену, а не только к первому члену, поэтому пропуск хотя бы одного изменения даёт неверный результат.

После раскрытия скобок подобные слагаемые группируют и складывают или вычитают их коэффициенты. Буквенные части при этом не складывают между собой: например, 4xy − xy = 3xy. В конце нулевые слагаемые убирают, а остальные обычно располагают по убывающим степеням переменной.

Правила сложения и вычитания многочленов

Сначала определите знак перед каждой скобкой, а затем раскройте её по правилу из третьего столбца. После этого используйте последний столбец: найдите подобные слагаемые и объедините их.

Таблица особенно полезна при вычитании, потому что напоминает: знак минус нужно применить ко всему второму многочлену. Если скобок нет, можно сразу соединить слагаемые и выполнить приведение подобных.

Разбор задач

Задача 1. Найти сумму многочленов 3x + 2 и x − 5. Нужно объединить выражения и найти слагаемые с одинаковой буквенной частью. Числа 2 и −5 также являются подобными постоянными слагаемыми.

1. Запишем сумму: (3x + 2) + (x − 5).
2. Раскроем скобки со знаком плюс: 3x + 2 + x − 5.
3. Сгруппируем подобные слагаемые: (3x + x) + (2 − 5) = 4x − 3.

Ответ: 4x − 3.

Задача 2. Найти разность многочленов 4a² − 3a + 1 и a² + 2a − 6. Второй многочлен вычитается целиком, поэтому сначала меняем знаки всех его слагаемых. Только после этого можно безопасно объединять подобные члены.

1. Запишем разность: (4a² − 3a + 1) − (a² + 2a − 6).
2. Раскроем скобки: 4a² − 3a + 1 − a² − 2a + 6.
3. Объединим подобные: (4a² − a²) + (−3a − 2a) + (1 + 6) = 3a² − 5a + 7.

Ответ: 3a² − 5a + 7.

Задача 3. Упростить выражение (2x² − 3xy + y²) − (x² + 4xy − 2y²) + (3xy − y²). Здесь встречаются три вида буквенных частей: x², xy и y². Раскроем скобки, а затем отдельно соберём каждый вид.

1. Получаем 2x² − 3xy + y² − x² − 4xy + 2y² + 3xy − y².
2. Группируем: (2x² − x²) + (−3xy − 4xy + 3xy) + (y² + 2y² − y²).
3. Вычисляем коэффициенты: x² − 4xy + 2y².

Ответ: x² − 4xy + 2y².

Типичные ошибки

Меняют знак только у первого слагаемого. Так происходит, когда минус перед скобками воспринимают как знак одного члена. Проверьте себя: перепишите вторую скобку с противоположным знаком у каждого слагаемого.

Складывают неподобные слагаемые. Например, 2x + 3y ошибочно превращают в 5xy, потому что смотрят только на коэффициенты. Сравните буквенные части: x и y различаются, значит, такие слагаемые объединять нельзя.

Меняют знаки после плюса. Ошибка возникает из-за привычки раскрывать любые скобки одинаково. При плюсе перепишите каждый член без изменения знака и сравните запись до и после раскрытия.

Оставляют нулевой член или складывают буквы. Например, 4x − 4x = 0, а не 0x и не x. Проверьте коэффициенты подобных слагаемых: если их сумма равна нулю, весь член можно убрать.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь отличать одночлены от многочленов, находить подобные слагаемые и выполнять действия с целыми числами. Эти навыки нужны, потому что сложение и вычитание многочленов сводятся к работе со знаками и коэффициентами.

Правила пригодятся при раскрытии скобок и преобразовании алгебраических выражений. Они также используются при решении уравнений, когда нужно привести обе части к более простому виду.

Что запомнить

• Подобными можно складывать только слагаемые с одинаковой буквенной частью.
• При сложении многочленов знаки слагаемых в скобках сохраняются.
• Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри.
• Вычесть многочлен — значит прибавить противоположный.
• После раскрытия скобок приведи подобные слагаемые.
• Проверяй, чтобы каждое слагаемое при раскрытии скобок сохранило или изменило знак по правилу.