"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные результаты. Это правило следует из распределительного свойства умножения и помогает раскрывать скобки, упрощать выражения и готовиться к разложению многочленов на множители. При вычислениях отдельно следят за знаками и степенями одинаковых переменных, а в конце приводят подобные слагаемые и записывают ответ в стандартном виде.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, например −3a²b. Число −3 здесь называется коэффициентом, а a²b — буквенной частью. Такое разделение помогает не путать действия с числами и действия с переменными.
Многочлен — сумма или разность одночленов, например 2x² − 5x + 1. Каждое отдельное слагаемое, включая слагаемое со знаком перед ним, называют членом многочлена. Понимая, где заканчивается один член и начинается другой, легче правильно раскрыть скобки.
Произведение многочлена на одночлен — результат умножения одночлена на каждый член многочлена. Например, в выражении 2(x + 3) множитель 2 действует и на x, и на 3. Это понятие описывает правило раскрытия скобок, а не умножение только одного выбранного слагаемого.
Распределительное свойство умножения позволяет умножить число или выражение на сумму либо разность по отдельности: a(b + c) = ab + ac. Для разности правило такое же: a(b − c) = ab − ac. Оно объясняет, почему одночлен нужно умножать на все члены многочлена.
Множитель перед скобками умножают на каждый член внутри, потому что многочлен означает сумму или разность этих членов. Например, 3(x + 2) — это 3 · (x + 2), то есть 3x + 6. Если умножить только x, слагаемое 2 останется без нужного множителя и равенство нарушится.
Каждый член многочлена вместе с одночленом образует произведение одночленов. В нём сначала перемножают коэффициенты, затем разбираются с буквами: для одинаковых переменных складывают показатели степеней. Так, 2x · 3x² = 6x³, потому что 2 · 3 = 6, а x · x² = x³. Разные переменные сохраняют в буквенной части рядом: a · b = ab.
Знак каждого нового слагаемого зависит от знаков двух множителей. Положительное число, умноженное на отрицательное, даёт отрицательное произведение; произведение двух отрицательных чисел положительно. Поэтому в выражении −2(3a − b) получаются −6a и +2b: минус умножен и на положительный член, и на отрицательный.
После раскрытия скобок могут появиться подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями. Их коэффициенты можно сложить или вычесть, например 4x − x = 3x. Это упрощает запись и помогает представить ответ в стандартном виде: сначала указывают числовой коэффициент, затем буквенную часть, а подобные члены объединяют.
Преобразование можно проверить, повторно применив распределительное свойство: умножить найденные слагаемые на множитель в обратном порядке и убедиться, что исходная скобка восстанавливается. Также можно подставить одно и то же число вместо переменной в исходное и преобразованное выражения. Совпадение результатов помогает обнаружить ошибки, хотя проверка одним числом не заменяет правильного преобразования.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Раскрытие скобок | Умножить одночлен на каждый член многочлена | Не пропустить ни одного слагаемого |
| Умножение коэффициентов | Перемножить числовые коэффициенты | Учитывать знаки |
| Умножение буквенных частей | Сложить показатели степеней одинаковых переменных | Разные переменные не объединять |
| Упрощение результата | Привести подобные слагаемые | Записать многочлен в стандартном виде |
Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала распределите множитель по всем членам скобок, затем вычислите каждое произведение. В конце проверьте знаки и буквенные части, объедините подобные слагаемые и приведите запись к стандартному виду.
Задача 1. Раскройте скобки: 3x(2x − 5). Здесь в скобках два члена, поэтому множитель 3x нужно применить к каждому из них. Следите отдельно за умножением чисел, переменных и знаков.
Ответ: 6x² − 15x.
Задача 2. Раскройте скобки и упростите: −2a²b(3a − 4ab + b²). У трёхчлена три члена, значит, должно получиться три произведения. В каждом отдельно умножим коэффициенты, а для одинаковых букв сложим показатели.
Члены −6a³b, 8a³b² и −2a²b³ не подобны: буквенные части у них различаются. Их нельзя сложить, поэтому результат уже записан в стандартном виде. Ответ: −6a³b + 8a³b² − 2a²b³.
Задача 3. Упростите выражение: 3x(2x − 1) − x(3x + 4). Здесь две скобки, а перед второй стоит минус. Сначала раскроем скобки, не теряя этот знак, а затем соберём слагаемые с одинаковыми буквенными частями.
Ответ: 3x² − 7x.
Умножить одночлен только на первый член многочлена — значит забыть распределительное свойство. Так делают, когда воспринимают скобки как одно целое и не замечают остальные слагаемые. Пересчитайте члены скобки и убедитесь, что для каждого записано отдельное произведение.
Можно правильно начать раскрытие скобок, но пропустить множитель в одном из произведений: например, умножить числовые коэффициенты, но оставить буквы без изменений. Обычно это происходит, когда считают слишком быстро. Проверьте каждое слагаемое отдельно: в нём должны быть учтены и коэффициент, и все переменные исходного одночлена.
При умножении степеней иногда перемножают показатели: ошибочно считают, что x² · x³ = x⁶. Это путают с правилом возведения степени в степень. Здесь основания одинаковые, поэтому показатели складывают: x² · x³ = x⁵; для самопроверки можно раскрыть степени как произведение пяти множителей x.
При отрицательном одночлене легко ошибиться в знаке одного из слагаемых. Причина часто в том, что знак минус забывают считать частью коэффициента или не учитывают минус у члена в скобках. Определите знак каждого произведения отдельно по правилам умножения знаков и только после этого записывайте слагаемые.
Для работы с выражениями нужны знания об одночленах, многочленах, действиях со степенями и распределительном свойстве умножения. Умножение одночленов входит в каждый шаг раскрытия скобок: именно так вычисляется произведение множителя на отдельный член. Позже это умение пригодится при разложении многочленов на множители, упрощении выражений и решении уравнений.
Почему одночлен нужно умножать на все слагаемые в скобках?
Так работает распределительное свойство: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри них. Если умножить только на первое слагаемое, значение выражения изменится.
Что делать, если в одночлене и многочлене есть одинаковые переменные?
При умножении степеней одной и той же переменной сложите их показатели: например, a² · a³ = a⁵. Переменные разных видов не объединяйте.
Нужно ли приводить подобные слагаемые после раскрытия скобок?
Если после раскрытия скобок появились подобные слагаемые, их нужно сложить или вычесть. Так выражение станет проще и будет записано в стандартном виде.
Как не ошибиться со знаком минус при умножении?
Умножайте знаки отдельно от числовых и буквенных частей. Произведение множителей с разными знаками отрицательно, а с одинаковыми — положительно.
Как проверить правильность полученного результата?
Можно снова применить распределительное свойство к полученной сумме и проверить, что исходное выражение восстанавливается. Ещё один способ — подставить вместо переменных числа в исходное выражение и результат и сравнить значения.
2.3. Произведение многочлена на одночлен
