2.4. Произведение многочленов

Определения и обозначения

Произведение многочленов — выражение, полученное при умножении одного многочлена на другой. Чтобы найти его, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго. Это определение помогает не пропустить ни одной части выражения, даже если в скобках больше двух слагаемых.

Распределительный закон умножения позволяет умножать сумму или разность на общий множитель: каждый член в скобках умножается на этот множитель. Например, a(b + c) = ab + ac. Закон нужен, чтобы постепенно раскрывать произведение многочленов и заменять его суммой более простых произведений.

Раскрытие скобок — выполнение умножения так, чтобы в записи больше не было скобок, обозначающих множители. При этом каждое слагаемое умножается на нужные члены, а его знак сохраняется или меняется согласно правилам умножения. Это позволяет перейти от записи произведения к сумме одночленов.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные члены объединены. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 3x² и −x². Приведение к стандартному виду делает ответ короче и помогает увидеть итоговые коэффициенты при каждой буквенной части.

Как это устроено

При умножении двух двучленов появляются четыре произведения, потому что у каждого члена первого двучлена есть два возможных партнёра во втором. Если обозначить выражения как (a + b)(c + d), нужно получить ac, ad, bc и bd. Ни одну пару нельзя отбросить: каждый член входит в исходные скобки и влияет на результат. Именно поэтому умножение только первых членов не даёт произведения двучленов.

Распределительный закон превращает произведение многочленов в сумму произведений отдельных одночленов. Сначала можно умножить каждый член первой скобки на всю вторую скобку, а затем снова применить закон внутри полученных выражений. Например, (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd. Такая запись показывает, откуда берётся каждое слагаемое, и подходит для многочленов любой длины.

Знак каждого промежуточного произведения определяется знаками его множителей. Плюс на плюс и минус на минус дают плюс, а произведение множителей с разными знаками даёт минус. Поэтому в выражении (x − 3)(x + 2) произведение (−3) · 2 отрицательно, а x · x положительно. Полезно записывать слагаемые по одному: тогда знак не приходится угадывать после раскрытия всех скобок.

После умножения могут появиться члены с одинаковой буквенной частью, и их нужно сложить. Например, в сумме 2x² + 5x − 3x² члены 2x² и −3x² подобны, а 5x к ним не относится. Приведение подобных слагаемых не меняет значение выражения: оно лишь объединяет несколько одинаковых частей. В результате получается более короткая запись — многочлен в стандартном виде.

Правило действует и тогда, когда в скобках разное число членов. Если в первом многочлене m членов, а во втором n, то сначала образуется m · n промежуточных произведений: каждый из первых m членов сочетается с каждым из n членов. Например, для двучлена и трёхчлена получается 2 · 3 = 6 слагаемых до возможного объединения подобных. Их число после приведения может стать меньше, потому что некоторые произведения складываются.

Алгоритм умножения многочленов

Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда закончил предыдущий. Особенно внимательно проверь, что каждый член первого множителя умножен на все члены второго. В конце отдельно проверь знаки и наличие подобных слагаемых.

Разбор задач

Задача 1. Выполнить умножение: (2x + 3)(x − 4).

1. У первого двучлена два члена, и у второго тоже два, поэтому составим четыре произведения: 2x · x, 2x · (−4), 3 · x и 3 · (−4).
2. Вычислим их: 2x², −8x, 3x и −12. Минус во втором произведении появляется из-за множителей разных знаков.
3. Сложим: 2x² − 8x + 3x − 12. Подобны только слагаемые с x, поэтому −8x + 3x = −5x.

Ответ: 2x² − 5x − 12.

Задача 2. Выполнить умножение: (3a − 2b)(a + 5b).

1. Каждый член первой скобки умножим на оба члена второй: 3a · a, 3a · 5b, (−2b) · a и (−2b) · 5b.
2. Получим 3a², 15ab, −2ab и −10b². В третьем произведении знак минус, так как множители имеют разные знаки; в последнем оба множителя отрицательными не являются, но первый отрицателен, поэтому результат тоже отрицательный.
3. Запишем сумму 3a² + 15ab − 2ab − 10b². Члены 15ab и −2ab подобны, их коэффициенты складываются: 15 − 2 = 13.

Ответ: 3a² + 13ab − 10b².

Задача 3. Упростить выражение: (2x² − x + 3)(x² + 2x − 1).

1. В каждой скобке по три члена, значит, нужно получить девять произведений. Умножим 2x² на каждый член второй скобки: 2x⁴ + 4x³ − 2x².
2. Теперь умножим −x на все три члена: −x³ − 2x² + x. Затем умножим 3 на каждый член: 3x² + 6x − 3.
3. Сложим полученные группы: 2x⁴ + 4x³ − 2x² − x³ − 2x² + x + 3x² + 6x − 3. Сгруппируем слагаемые одинаковых степеней: 2x⁴, 4x³ − x³, −2x² − 2x² + 3x², x + 6x и −3.

Ответ: 2x⁴ + 3x³ − x² + 7x − 3.

Типичные ошибки

Умножают только первые или одноимённые члены. Так происходит, когда правило умножения одночленов ошибочно переносят на целые скобки. Проверь себя: напротив каждого члена первой скобки должны стоять произведения со всеми членами второй.

Теряют минус при раскрытии скобок, особенно если в множителе стоит разность. Обычно знак считают частью числа не сразу, а пытаются восстановить после вычислений. Записывай знак каждого множителя и определяй знак произведения до того, как объединять слагаемые.

Неправильно складывают подобные слагаемые или объединяют разные буквенные части. Например, 4ab и −ab подобны, а 4a и −ab — нет. Перед сложением проверь буквенную часть: она должна совпадать полностью, включая буквы и их степени.

Оставляют ответ без приведения подобных слагаемых и считают промежуточную сумму окончательной. Часто это происходит из-за того, что после раскрытия скобок кажется, будто вычисления закончены. Проверь запись ещё раз: если есть одинаковые буквенные части, сложи их коэффициенты и упорядочь результат.

Связь с другими темами

Для умножения многочленов нужны распределительный закон, правила умножения одночленов, действия с положительными и отрицательными числами и приведение подобных слагаемых. Эти знания помогают раскрывать скобки без пропусков и ошибок в знаках. Умение умножать многочлены пригодится при преобразовании выражений, решении уравнений и разложении многочленов на множители. Оно также подготавливает к формулам сокращённого умножения и действиям с алгебраическими дробями.

Что запомнить

• При умножении многочленов каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого.
• Произведение многочленов основано на распределительном законе.
• Знаки произведений определяют по правилам умножения положительных и отрицательных чисел.
• После раскрытия скобок нужно привести подобные слагаемые.
• Итог обычно записывают в стандартном виде многочлена.
• Число промежуточных произведений равно произведению числа членов в множителях.