"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Произведение многочленов получается, когда один многочлен умножают на другой. Чтобы выполнить такое умножение, каждый член первой скобки умножают на каждый член второй, а затем приводят подобные слагаемые. Этот приём помогает раскрывать скобки и упрощать выражения, в том числе выражения с несколькими произведениями. Главное — не пропускать пары слагаемых, правильно перемножать одночлены и внимательно следить за знаками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — сумма одночленов. Одночленом может быть число, например 5, или произведение чисел и переменных, например 3x²y. Это понятие помогает увидеть, из каких частей состоит выражение, и понять, что именно предстоит перемножать.
Произведение многочленов — выражение, полученное умножением одного многочлена на другой. Например, (x + 2)(x − 1) — произведение двух многочленов, записанное в скобках. Такое обозначение удобно, пока выражение не раскрыто и его можно преобразовать по правилу умножения сумм.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, то есть с теми же переменными в тех же степенях. Например, 4x² и −x² подобны, а 4x² и 4x — нет. После раскрытия скобок подобные слагаемые объединяют, чтобы записать результат короче и привести его к стандартному виду.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, используют распределительное свойство умножения относительно сложения. Оно означает, что множитель относится к каждому слагаемому суммы: a(b + c) = ab + ac. Поэтому в выражении 3x(2x − 5) множитель 3x нужно умножить и на 2x, и на −5; иначе получится произведение только с частью скобки.
При умножении двух многочленов сначала можно применить это же правило к членам первой скобки, а затем к членам второй. Например, в (a + b)(c + d) член a умножается и на c, и на d, а член b — тоже на c и на d. Так появляются все четыре произведения: ac, ad, bc и bd; каждое соответствует своей паре слагаемых, и пропуск пары меняет результат.
Работай по порядку: раскрой скобки, умножь одночлены в получившихся произведениях и только потом приведи подобные слагаемые. Такой порядок отделяет разные действия и позволяет не объединять то, что ещё не вычислено. Например, если после раскрытия получились 2x², 3x и −x², сначала оставь их как отдельные результаты, а затем объедини только слагаемые с x².
При умножении одночленов перемножают числовые коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных складывают: x² · x³ = x⁵. Знак произведения зависит от знаков множителей: два отрицательных множителя дают плюс, а множители разных знаков — минус. Переменные с разными буквами сохраняют отдельно, например 2a · 3b = 6ab; складывать показатели можно только у одинаковых переменных.
После объединения подобных слагаемых многочлен обычно записывают в стандартном виде: слагаемые располагают по убыванию степеней переменной. Так, x² + 3x − 4 записан стандартно, а −4 + x² + 3x можно переставить, не изменяя значение. При нескольких переменных порядок выбирают по принятому правилу записи, сохраняя коэффициенты и буквенные части каждого слагаемого.
Используй таблицу как краткий план решения. Сначала определи, какие выражения перемножаются, затем проверь каждую пару членов и знаки. После этого приведи подобные слагаемые и при необходимости переставь их в стандартный порядок.
| Случай | Что нужно сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Одночлен на многочлен | Умножить одночлен на каждый член многочлена. | Множитель распределяется на все слагаемые, знаки сохраняются по правилам умножения. |
| Многочлен на многочлен | Умножить каждый член первой скобки на каждый член второй. | Не пропустить ни одной пары слагаемых. |
| Умножение одночленов при раскрытии скобок | Перемножить коэффициенты и переменные; показатели одинаковых переменных сложить. | Проверить знак и не складывать показатели разных переменных. |
| Приведение результата к стандартному виду | Объединить подобные слагаемые и расположить результат по степеням. | Объединять только одинаковые буквенные части. |
Здесь одночлен умножается на двучлен. По распределительному свойству нужно получить два произведения, а не умножать 3x только на первый член скобки. Особенно внимательно проверим знак второго произведения.
Ответ: 6x² − 15x.
В каждой скобке по два члена, поэтому должны появиться четыре произведения. Удобно сначала умножить x на оба члена второй скобки, а затем так же поступить с 4. После умножения объединим только слагаемые с x.
Ответ: x² + x − 12.
В выражении два произведения, причём перед вторым стоит минус. Сначала раскроем обе пары скобок отдельно, чтобы не перепутать действия, а затем вычтем всё второе произведение. В конце объединим слагаемые с одинаковыми буквенными частями.
Ответ: a² + 2ab − 6b².
Умножают только первые члены скобок и забывают остальные. Так бывает, когда правило воспринимают как обычное умножение двух чисел и не применяют распределительное свойство. Проверь себя: для двух двучленов должно появиться четыре парных произведения, прежде чем начнётся упрощение.
Не умножают член первого многочлена на каждый член второго, поэтому в ответе теряются слагаемые. Причина обычно в том, что ученик выписывает пары без плана или торопится раскрыть скобки. Можно проверять каждую строку отдельно: для каждого члена первой скобки должны быть использованы все члены второй.
Ошибаются со знаками при умножении отрицательных одночленов или при вычитании произведения. Минус перед скобками относится ко всем её членам, а знак произведения зависит от знаков обоих множителей. Для проверки выпиши промежуточный шаг, например −(a − b) = −a + b, и отдельно проверь знак каждого результата.
Складывают неподобные слагаемые или неверно складывают показатели степеней при умножении одночленов. Первое неверно, потому что слагаемые с разными буквенными частями нельзя объединять; второе — потому что при умножении складывают показатели только у одинаковых переменных. Сверь буквенную часть каждого слагаемого и запиши отдельно вычисление коэффициентов и степеней.
Для умножения многочленов понадобятся распределительное свойство, правила знаков и умножение одночленов. Эти знания позволяют раскрывать скобки и упрощать алгебраические выражения, в том числе при преобразованиях в уравнениях. Приведение многочлена к стандартному виду подготавливает к следующему важному действию — разложению многочлена на множители.
Почему при умножении двух многочленов нужно перемножить каждую пару членов?
Это следует из распределительного свойства: каждый член одной скобки умножается на всю сумму в другой скобке. Поэтому он должен умножиться на каждый член этой суммы. Если пропустить пару, часть произведения потеряется.
Как умножать многочлен на одночлен?
Умножь одночлен на каждый член многочлена по отдельности. Перемножь числовые коэффициенты и одинаковые переменные, а затем запиши получившиеся слагаемые. Если есть отрицательные числа, отдельно проверь знак каждого произведения.
Когда можно привести слагаемые после раскрытия скобок?
После того как раскрыты все скобки и выполнены умножения одночленов. Затем сравни буквенные части: складывать и вычитать можно только слагаемые с одинаковыми буквами в одинаковых степенях. Например, 3x² и 5x² подобны, а 3x² и 5x — нет.
Как не потерять минус перед скобками или произведением?
Считай минус множителем −1 и учитывай его при умножении каждого слагаемого в скобках. Если перед произведением стоит минус, сначала найди всё произведение, а затем вычти каждый его член. Полезно записывать промежуточные выражения и проверять знаки отдельно.
Нужно ли записывать результат в определённом порядке?
Обычно результат записывают в стандартном виде: сначала слагаемые с наибольшей степенью переменной, затем с меньшими степенями и свободный член. Так удобнее видеть строение многочлена и сравнивать его с другими выражениями. Само значение выражения от порядка слагаемых не меняется.
§ 11. Произведение многочленов
