"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму или разность в произведение. Для этого находят множитель, который есть в каждом слагаемом, и записывают его перед скобками, а внутри оставляют результаты деления слагаемых на него. Такой приём помогает разлагать многочлены на множители, упрощать выражения и решать уравнения. Главное — учесть общий числовой множитель, переменные в наименьших степенях и знаки всех слагаемых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общий множитель — число, переменная или выражение, которое является множителем каждого слагаемого многочлена. Например, в сумме 6x + 9 общим множителем будет 3: и 6x, и 9 делятся на это число. Поиск общего множителя показывает, какую часть слагаемых можно записать одинаково и вынести из суммы.
Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы в произведение по распределительному свойству умножения. Например, вместо 3 · 2 + 3 · 5 можно записать 3(2 + 5). Это удобно, потому что одинаковый множитель больше не нужно повторять в каждом слагаемом, а выражение становится произведением.
Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения нескольких выражений. Так, запись 6x + 9 = 3(2x + 3) показывает разложение на множители. Оно помогает увидеть строение выражения и может сделать дальнейшие вычисления или решение уравнения проще.
Основа приёма — распределительное свойство: a(b + c) = ab + ac. Если произведения ab и ac стоят в сумме, множитель a можно вынести обратно: ab + ac = a(b + c). Внутри скобок остаются частные от деления слагаемых на общий множитель. Поэтому равенство сохраняется: при раскрытии скобок мы снова получим исходную сумму.
У числовых коэффициентов ищут наибольший общий делитель, то есть самое большое число, на которое делится каждый коэффициент без остатка. Например, для 12 и 8 это 4, а не 2. Если вынести 4, внутри останутся числа 3 и 2; если вынести только 2, в скобках всё ещё можно будет вынести общий множитель 2. Выбор наибольшего делителя сразу даёт более полное разложение.
Когда одна и та же переменная встречается в нескольких слагаемых в разных степенях, общей частью будет её наименьшая степень. Это следует из правила деления степеней с одинаковым основанием: при делении показатели вычитаются. Например, если разделить x³ и x² на x², получатся x и 1; если попытаться вынести x³, второе слагаемое пришлось бы делить на большую степень, и обычного одночлена в частном не получится.
Если общий множитель состоит из нескольких частей, каждое слагаемое нужно разделить на всё произведение, а не только на его один фрагмент. Полученные частные записывают в скобках, сохраняя знаки исходных слагаемых. Например, при делении отрицательного слагаемого на положительный множитель частное остаётся отрицательным. Так распределительное свойство при обратной проверке восстановит и величины, и знаки.
Проверка выполняется обратным действием — раскрытием скобок. Множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри, не пропуская ни одного. Если после сложения получается исходный многочлен, преобразование верно. Такая проверка особенно полезна, когда в выражении несколько слагаемых или отрицательные знаки.
| Что ищем | Как определить | Пример разложения |
|---|---|---|
| Общий числовой множитель | Наибольший общий делитель коэффициентов | 6x + 9 = 3(2x + 3) |
| Общую переменную | Переменная, присутствующая в каждом слагаемом | 5a² + 10a = 5a(a + 2) |
| Наименьшую степень общей переменной | Минимальную степень переменной среди слагаемых | 12x³ − 8x² = 4x²(3x − 2) |
| Общий множитель из нескольких частей | Общий числовой множитель и общие переменные | 6a²b + 9ab² = 3ab(2a + 3b) |
Сначала проверьте коэффициенты, затем — переменные и их степени: так вы не пропустите часть общего множителя. В третьей строке таблицы минимальная степень x равна 2, а в последней общий множитель включает число 3 и переменные a и b. После выбора разделите на него каждое слагаемое.
Задача 1. Разложите на множители: 6x + 9. Здесь два слагаемых, и буквенная переменная есть только в первом, поэтому общей частью переменных ничего не будет. Сначала сравним числовые коэффициенты: наибольший общий делитель чисел 6 и 9 равен 3.
Выносим число 3 за скобки. Это наибольший общий делитель коэффициентов, поэтому в частных не останется другого общего числового множителя. Делим каждое слагаемое на 3.
Получаем 6x : 3 = 2x и 9 : 3 = 3. Записываем частные в скобках с исходным знаком: 6x + 9 = 3(2x + 3). Плюс сохраняется, потому что оба слагаемых положительные.
Проверяем: 3 · 2x + 3 · 3 = 6x + 9. Получилось исходное выражение, значит разложение верно.
Ответ: 3(2x + 3).
Задача 2. Разложите на множители: 12a²b − 8ab². В обоих слагаемых есть числа, переменная a и переменная b. Наибольший общий делитель коэффициентов 12 и 8 равен 4; наименьшие общие степени переменных — a и b.
Составляем общий множитель 4ab. В первом слагаемом степень a равна 2, а b — 1; во втором степень a равна 1, а b — 2. Поэтому можно вынести по одной a и b.
Делим первое слагаемое: 12a²b : 4ab = 3a. Делим второе: 8ab² : 4ab = 2b. Перед вторым частным сохраняем знак минус.
Записываем результат: 12a²b − 8ab² = 4ab(3a − 2b). Для проверки умножаем 4ab на оба слагаемых внутри скобок и получаем 12a²b − 8ab².
Ответ: 4ab(3a − 2b).
Задача 3. Разложите на множители: 15x³y − 10x²y² + 5x²y. Общий множитель нужно найти у всех трёх слагаемых, поэтому отдельно проверяем числа и каждую переменную. Наибольший общий делитель чисел 15, 10 и 5 равен 5; минимальные степени общих переменных — x² и y.
Выносим 5x²y. Важно учесть именно наименьшую степень x: она равна 2, а наименьшая степень y равна 1. Этот множитель делит каждое из трёх слагаемых.
Находим частные: 15x³y : 5x²y = 3x; 10x²y² : 5x²y = 2y; 5x²y : 5x²y = 1. Знаки исходных слагаемых сохраняются, поэтому в скобках будут плюс, минус и плюс.
Получаем 15x³y − 10x²y² + 5x²y = 5x²y(3x − 2y + 1). При раскрытии скобок каждый член возвращается к соответствующему слагаемому исходного многочлена.
Ответ: 5x²y(3x − 2y + 1).
Можно вынести общий числовой множитель, но забыть общую переменную. Например, в 12x³ − 8x² недостаточно вынести только 4: в скобках останутся 3x³ и −2x², у которых есть общий множитель x². Ошибка возникает, когда проверяют только коэффициенты. Просмотрите отдельно каждую переменную во всех слагаемых и раскройте скобки для проверки.
Другая ошибка — вынести переменную в степени, большей, чем она встречается в одном из слагаемых. Например, из x³ и x² нельзя вынести x³: при делении x² на x³ получилось бы 1/x, а это уже не частное-одночлен в рассматриваемом разложении. Обычно путают наибольшую степень с общей. Сравните показатели и выберите наименьший; затем убедитесь, что все частные записаны без отрицательных показателей.
При отрицательном множителе легко ошибиться со знаками в скобках: каждое слагаемое нужно делить именно на отрицательное число. Ошибка часто появляется, если поменять знак только у одного частного или не учесть знак перед скобками. Проверьте деление каждого слагаемого отдельно, а затем раскройте скобки. Умножение должно вернуть правильный знак у каждого исходного члена.
Иногда на общий множитель делят не все слагаемые или неверно делят коэффициенты. Например, при трёх членах можно случайно пропустить последний, а при вычислении частного перепутать числа. Причина обычно в спешке при записи выражения в скобках. Делите по очереди каждое слагаемое и сверяйте раскрытием скобок: так обнаружится пропущенный член или неверный коэффициент.
Чтобы выносить множитель, нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: именно его применяют в обратном направлении. Также нужны правила действий с одночленами, потому что приходится делить коэффициенты и степени переменных. Этот приём — один из способов разложения многочленов на множители. Разложение может упростить сокращение дробей и помочь решить уравнение, если после преобразования произведение равно нулю.
Как понять, что можно вынести за скобки?
Найдите число и переменные, которые являются множителями каждого слагаемого. Если такой общий множитель есть, разделите на него каждое слагаемое и запишите частные в скобках. Проверить возможность и результат можно раскрытием скобок.
Какой числовой множитель лучше выносить?
Обычно выносят наибольший общий делитель числовых коэффициентов. Тогда в скобках не останется общего числового множителя, и разложение будет полным. Например, для 6 и 9 это число 3.
Какую степень переменной нужно вынести?
Если переменная есть во всех слагаемых, выносят её в наименьшей степени из встречающихся. Например, из x³ и x² можно вынести x². В каждом частном степень переменной получится неотрицательной.
Что делать, если общий множитель отрицательный?
Можно вынести отрицательный множитель, но при делении на него знаки частных нужно определить внимательно. Например, если вынести −2 из выражения −2x + 6, в скобках получится x − 3. Раскрытие скобок поможет проверить знаки.
Как проверить, правильно ли выполнено разложение?
Раскройте скобки по распределительному свойству умножения. Умножьте множитель перед скобками на каждое слагаемое внутри и сложите результаты. Если получился исходный многочлен, разложение верно.
28. Вынесение общего множителя за скобки
