21. Вынесение общего множителя за скобки

Определения и обозначения

Множитель — выражение, входящее в произведение. Например, в 6ab множителями являются 6, a и b, а в 3(x + 2) один из множителей — двучлен x + 2. Слагаемое входит не в произведение, а в сумму или разность: в 5x − 2 слагаемые — 5x и −2.

Общий множитель — множитель, который присутствует в каждом слагаемом многочлена. В выражении 8x² + 12x общими являются число 4 и буква x. Поиск общего множителя нужен, чтобы заменить сумму произведением.

Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы в произведение, при котором общий множитель записывают перед скобками. Например, 7x + 14 = 7(x + 2). В скобках остаётся выражение, показывающее, на что пришлось разделить каждое слагаемое.

Разложение на множители — представление выражения в виде произведения нескольких выражений. Это действие обратно раскрытию скобок и помогает упростить вычисления. Обычно стремятся вынести наибольший общий множитель, чтобы разложение не осталось незавершённым.

Как это устроено

Общий множитель можно вынести благодаря распределительному свойству умножения: A(B + C) = AB + AC. Если прочитать это равенство справа налево, получится AB + AC = A(B + C). Значит, одинаковый множитель в нескольких слагаемых можно заменить одним множителем перед скобками.

Сначала ищут общий числовой множитель коэффициентов, то есть чисел перед буквами. Удобнее выбрать их наибольший общий делитель: например, для 18 и 12 это 6. Можно вынести и 2, но тогда внутри скобок останется ещё общий числовой множитель, поэтому такое разложение будет неполным.

Затем определяют общую буквенную часть. Берут только те переменные, которые встречаются в каждом слагаемом, а для каждой такой переменной — наименьшую степень. Например, в 18a³b и 12a²b² общая часть равна a²b: переменная a есть в степенях 3 и 2, а b — в степенях 1 и 2.

Чтобы получить выражение в скобках, каждое слагаемое делят на вынесенный множитель. Так, при делении 18a³b на 6a²b получается 3a, а при делении 12a²b² на 6a²b получается 2b. Знаки сохраняются согласно результату деления, поэтому знак «минус» перед слагаемым нельзя пропускать.

После записи произведения полезно выполнить обратную проверку — раскрыть скобки. Если распределить вынесенный множитель на каждый член скобок и получить исходные слагаемые, ответ верен. При вынесении отрицательного множителя знаки внутри скобок меняются: например, −6x + 12 = −6(x − 2).

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки

Таблицу удобно использовать как последовательную памятку: нельзя переходить к скобкам, пока не найден общий множитель. Особенно полезен последний шаг, потому что он быстро обнаруживает ошибку в знаке или делении.

Разбор задач

1. Разложить на множители: 7x + 14

Оба слагаемых имеют общий числовой множитель 7. Буквенной общей части нет, потому что во втором слагаемом буква x отсутствует. Поэтому достаточно вынести число 7.

1. Находим общий множитель: 7.
2. Делим слагаемые на 7: 7x : 7 = x, 14 : 7 = 2.
3. Записываем результат: 7x + 14 = 7(x + 2).

Ответ: 7(x + 2). Проверка: 7·x + 7·2 = 7x + 14.

2. Разложить на множители: 18a³b − 12a²b²

Сначала сравним коэффициенты 18 и 12: их наибольший общий делитель равен 6. В обоих слагаемых есть a² и b, поэтому общий одночлен — 6a²b. Теперь каждое слагаемое нужно разделить именно на него.

1. Находим общий множитель: 6a²b.
2. Выполняем деление: 18a³b : 6a²b = 3a, а 12a²b² : 6a²b = 2b.
3. Учитываем исходный знак «минус» и записываем: 18a³b − 12a²b² = 6a²b(3a − 2b).

Ответ: 6a²b(3a − 2b). При раскрытии скобок получаем 18a³b − 12a²b², значит, преобразование выполнено верно.

3. Разложить на множители: 5x(x − 1) − 3(x − 1)

Здесь общий множитель уже записан не как отдельная буква или число, а как целое выражение x − 1. Он встречается в обоих слагаемых, поэтому его можно вынести, не раскрывая скобки. После деления первого слагаемого на x − 1 остаётся 5x, а второго — −3.

1. Находим общий множитель: x − 1.
2. Делим слагаемые на него: 5x(x − 1) : (x − 1) = 5x, −3(x − 1) : (x − 1) = −3.
3. Записываем произведение: 5x(x − 1) − 3(x − 1) = (x − 1)(5x − 3).

Ответ: (x − 1)(5x − 3). Проверка раскрытием скобок возвращает оба исходных слагаемых.

Типичные ошибки

Выносят только общий числовой множитель. Например, в 18a³b − 12a²b² можно вынести 6, но общие a²b останутся внутри. Такая ошибка возникает из-за невнимательного сравнения одночленов; проверьте, есть ли одинаковые переменные во всех слагаемых.

Берут наибольшую степень общей переменной. В выражении a³ и a² нельзя вынести a³, потому что во втором слагаемом её недостаточно. Выбирайте наименьшую степень, встречающуюся во всех слагаемых, и проверяйте деление каждого из них.

Неверно делят слагаемые. Можно ошибиться в коэффициенте, показателе степени или забыть исходный знак. Выполняйте деление отдельно и затем умножьте каждый полученный частный на общий множитель.

Неправильно работают с отрицательным множителем. При вынесении минуса знаки всех частных меняются, поэтому запись внутри скобок часто получается неверной. Раскройте скобки: если исходные знаки не восстановились, исправьте результат.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны распределительное свойство умножения, действия с одночленами, сложение подобных слагаемых и деление степеней с одинаковыми основаниями. Без этих навыков трудно правильно находить общий множитель и вычислять частные.

Вынесение общего множителя — первый приём разложения многочленов на множители. Оно также используется при сокращении алгебраических дробей и решении уравнений, когда произведение удобно приравнять к нулю.

Что запомнить

• Общий множитель присутствует в каждом слагаемом.
• При вынесении множителя за скобки сумма превращается в произведение.
• В скобках записывают частные от деления всех слагаемых на вынесенный множитель.
• Для полного разложения обычно выбирают наибольший общий множитель.
• Общая буквенная часть содержит переменные в наименьших степенях.
• Правильность результата можно проверить раскрытием скобок.
• Отрицательный общий множитель меняет знаки всех выражений в скобках.