"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму или разность слагаемых в произведение. Для этого находят число и буквы, которые есть в каждом слагаемом, а затем записывают их перед скобками. Внутри скобок остаются результаты деления слагаемых на вынесенный множитель. Приём помогает упростить выражения, увидеть их строение и подготовить многочлен к дальнейшему разложению на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общий множитель — число, переменная или выражение, которое является множителем каждого слагаемого многочлена. Например, в выражении 6x + 12 общим множителем служит 6, потому что 6x = 6 · x и 12 = 6 · 2. Поиск такого множителя помогает увидеть, что слагаемые связаны между собой.
Вынесение общего множителя за скобки — представление суммы или разности в виде произведения общего множителя и выражения в скобках. Например, сумму 6x + 12 можно записать как 6(x + 2). Это обратное действие к раскрытию скобок: вместо умножения мы замечаем общий множитель и записываем его отдельно.
Разложение многочлена на множители — запись многочлена в виде произведения нескольких выражений. Например, 6x + 12 превращается в произведение 6 и x + 2. Такая запись показывает строение многочлена и может сделать дальнейшие вычисления или решение уравнения проще.
Основа приёма — распределительное свойство умножения: ab + ac = a(b + c). В левой части множитель a повторяется в обоих слагаемых, а в правой он записан один раз перед скобками. Равенство остаётся верным, потому что при раскрытии скобок множитель a снова умножается на каждое слагаемое. Поэтому вынесение общего множителя — это применение распределительного свойства в обратном направлении.
Чтобы найти общий числовой множитель, рассмотрим коэффициенты слагаемых, то есть числа перед буквами. Нужно найти наибольшее число, на которое делится каждый коэффициент без остатка: это их наибольший общий делитель. Например, коэффициенты 8 и 12 делятся на 4, а общего делителя больше 4 у них нет. Если вынести именно его, числовые коэффициенты в скобках уже не будут иметь общего делителя больше 1.
Общую буквенную часть выбирают отдельно для каждой переменной. В неё может войти только переменная, которая есть во всех слагаемых, иначе какое-то слагаемое нельзя будет разделить на общий множитель. Если переменная встречается в разных степенях, выбирают наименьшую степень: например, общий множитель для a³ и a² содержит a². Это работает потому, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
Слагаемые могут быть отрицательными, поэтому при выборе множителя нужно следить за знаками. Если вынести положительное число из выражения −6x + 4, получится 2(−3x + 2): знаки внутри сохраняются, так как делим на положительное 2. Если же вынести −2, частные будут положительными и отрицательными наоборот: −2(3x − 2). Проверка раскрытием скобок показывает, что оба варианта равны исходному выражению.
После вынесения множителя проверь результат: умножь его на каждое слагаемое в скобках и сравни с исходной записью. Так обнаруживаются ошибки в делении коэффициентов, степеней и работе со знаками. Затем посмотри, не осталось ли в скобках общего числа или буквенной части: если осталось, вынесение можно продолжить. Наиболее полный общий множитель обычно даёт наиболее короткое разложение.
| Ситуация | Что вынести | Как записать |
|---|---|---|
| Общие числовые коэффициенты | Наибольший общий делитель коэффициентов | Например: 6x + 12 = 6(x + 2) |
| Общие буквенные множители | Переменные, которые есть во всех слагаемых, в наименьших степенях | Например: a³ + a² = a²(a + 1) |
| Числовые и буквенные множители одновременно | Общий делитель коэффициентов и общую буквенную часть | Например: 8a²b − 12ab² = 4ab(2a − 3b) |
| Первое слагаемое отрицательное | Общий множитель с подходящим знаком, при необходимости отрицательный | Например: −6x + 4 = −2(3x − 2) |
Сначала сравни коэффициенты, затем проверь буквенную часть каждого слагаемого. Вынеси только те множители, которые подходят всем слагаемым, и раздели на них каждое слагаемое отдельно. После этого проверь знаки и раскрой скобки для контроля.
Задача 1. Разложите на множители 6x + 12. Здесь одно слагаемое содержит x, а другое — нет, поэтому общей буквенной части нет. Сравним коэффициенты 6 и 12: их наибольший общий делитель равен 6.
Ответ: 6(x + 2). Проверка: 6 · x + 6 · 2 = 6x + 12, то есть исходный многочлен восстановлен.
Задача 2. Разложите на множители 8a²b − 12ab². Коэффициенты 8 и 12 делятся на 4, а в обоих слагаемых есть a и b. Для a выбираем степень 1, потому что минимальная степень — a¹; для b также выбираем степень 1.
Ответ: 4ab(2a − 3b). При раскрытии скобок получаем 8a²b − 12ab². Буква a и буква b сократились при делении только в той степени, которая была общей для обоих слагаемых.
Задача 3. Разложите на множители −15x³y + 10x²y² − 5x²y. Коэффициенты делятся на 5, а во всех слагаемых есть x² и y. Чтобы первый член в скобках получился положительным и запись была удобной, вынесем множитель −5x²y.
Ответ: −5x²y(3x − 2y + 1). При раскрытии скобок получаются все три исходных слагаемых. Вынесение минуса изменило знаки частных в скобках, поэтому особенно важно проверить каждое слагаемое.
Иногда выносят не все общие множители. Например, в 8a²b − 12ab² можно вынести только 2a, но тогда в скобках останутся коэффициенты, которые ещё делятся на 2, и общая буква b. Так получается верное, но неполное разложение. Проверь скобки: если у всех слагаемых внутри есть общий множитель, продолжи разложение.
Другая ошибка — неверно разделить слагаемое на общий множитель. Чаще всего путают коэффициенты или показатели степеней: например, a³ : a² = a, а не a². Такая ошибка появляется, если делить только отдельную часть выражения, а не всё слагаемое. Для проверки умножь полученное частное на вынесенный множитель и сравни результат с исходным слагаемым.
При вынесении отрицательного множителя можно забыть поменять знаки частных в скобках. Например, если вынести −2 из −6x + 4, внутри получится 3x − 2, а не −3x + 2. Причина ошибки — привычка сохранять знаки исходной суммы. Проверяй каждый член отдельно: умножение −2 на выражение в скобках должно дать исходные слагаемые.
Иногда проверяют только первое слагаемое и не замечают ошибку в остальных. Даже если первый член восстановлен правильно, коэффициент, степень буквы или знак во втором члене могут быть неверными. Раскрывай скобки полностью: умножь вынесенный множитель на каждое слагаемое в скобках. Получившийся многочлен должен совпасть с исходным целиком.
Перед изучением вынесения общего множителя нужно знать распределительное свойство умножения и уметь раскрывать скобки. Проверка результата тоже опирается на раскрытие скобок, но выполняется в обратном порядке. Этот приём пригодится при упрощении выражений и решении уравнений: представление суммы как произведения иногда помогает найти неизвестное. Позже вынесение общего множителя будет одним из способов разложения многочленов на множители.
Как понять, что именно можно вынести за скобки?
Проверь, какие числа и переменные входят в каждое слагаемое. Общим множителем может быть только то, что является множителем всех слагаемых. Для чисел выбери общий делитель, а для букв — переменные с наименьшими общими степенями.
Как выбрать степень переменной в общем множителе?
Сравни степени одной и той же переменной во всех слагаемых. В общий множитель входит наименьшая из них. Например, в a³ и a² можно вынести a².
Обязательно ли выносить наибольший общий множитель?
Нет, можно вынести любой общий множитель. Но если вынести наибольший общий множитель, в скобках не останется общего числа или общей буквенной части, поэтому разложение будет полнее.
Что происходит со знаками, если вынести минус?
Каждое слагаемое делят на отрицательный множитель, поэтому знак каждого результата в скобках меняется. Например, при вынесении −2 из −6x + 4 получаем −2(3x − 2).
Как проверить, правильно ли выполнено разложение?
Раскрой скобки, умножив вынесенный множитель на каждое слагаемое внутри скобок. Если получился исходный многочлен со всеми прежними коэффициентами, переменными и знаками, разложение верно.
20. Вынесение общего множителя за скобки
