"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Разложить многочлен на множители — значит заменить сумму или разность произведением, не изменив значения выражения. Это помогает упростить вычисления, преобразовывать дроби и решать уравнения. Сначала проверяют, есть ли общий множитель у всех членов многочлена. Если его нет, слагаемые можно попробовать объединить в группы: вынести множитель отдельно в каждой и получить одинаковую скобку. Правильность разложения проверяют умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов. Например, запись 6x² − 9x = 3x(2x − 3) является разложением. В правой части стоит произведение, а при умножении оно возвращает исходный многочлен. Такое преобразование помогает увидеть, из каких частей составлено выражение.
Общий множитель — множитель, который входит в каждый член многочлена и может быть вынесен за скобки. Например, у членов 6x³ и −9x² есть общий множитель 3x². Его выносят, чтобы заменить сумму одночленов произведением. Чем больше общий множитель, тем полнее обычно получается разложение.
Способ группировки — разложение, при котором слагаемые объединяют в группы, чтобы вынести общий множитель и получить одинаковую скобку. Например, в выражении ab + ac + db + dc сначала можно выделить две пары. Если после вынесения множителей обе пары содержат b + c, эту скобку удаётся вынести ещё раз. Способ полезен, когда общего множителя у всех членов сразу нет.
Группировка слагаемых — объединение членов многочлена в группы, удобные для вынесения общего множителя. Обычно слагаемые соединяют попарно, но число и состав групп зависят от выражения. Важно выбирать их не наугад, а так, чтобы после преобразования получились одинаковые скобки. Тогда группировка приводит к произведению.
Вынесение множителя работает благодаря распределительному свойству умножения: a(b + c) = ab + ac. Если оба слагаемых содержат множитель a, его можно вынести и записать сумму в скобках. Например, ab + ac превращается в a(b + c). Проверка обратным умножением особенно удобна: она показывает, вернулись ли все слагаемые и знаки.
Чтобы найти общий множитель, отдельно сравните числа и буквы в каждом одночлене. Для чисел выбирают наибольший общий делитель, а для букв — те, что есть во всех членах, с наименьшими степенями. Так, у 6x³ и 9x² числовая часть общего множителя — 3, а общая буквенная часть — x². Значит, удобнее вынести 3x², а не только 3x или x.
При группировке мало просто разбить многочлен на части: после вынесения множителей скобки должны совпасть. Это нужно потому, что только одинаковое выражение можно вынести как общий множитель. Если в одной группе получилось (x + 2), а в другой (x − 2), вынести одну общую скобку нельзя. Значит, выбранные группы или знаки нужно пересмотреть.
Порядок действий при группировке такой: объедините слагаемые в подходящие группы, вынесите общий множитель из каждой, затем вынесите одинаковую скобку. Например, выражение ab + ac + db + dc можно записать как a(b + c) + d(b + c), а затем как (a + d)(b + c). Каждый переход сохраняет значение многочлена. В конце полезно раскрыть скобки для проверки.
Если исходный порядок мешает увидеть пары, слагаемые можно переставить: при сложении многочленов порядок членов не меняет сумму. Но вместе со слагаемым обязательно переносите его знак. Иногда помогает сгруппировать сначала первый и третий члены, а затем второй и четвёртый. Сравните несколько вариантов и выберите тот, где после вынесения множителей остаются одинаковые скобки.
Таблица подсказывает, какой приём попробовать первым и по каким признакам понять, что он подходит. Начните с проверки общего множителя для всех членов; если его нет, ищите подходящую группировку. В обоих случаях проверьте результат обратным умножением.
| Приём | Что сделать | Как распознать подходящий случай | Проверка результата |
|---|---|---|---|
| Вынесение общего множителя | Найти множитель, общий для всех членов, и вынести его за скобки. | Каждый член делится на одно и то же число и содержит общие буквы. | Умножить вынесенный множитель на каждый член в скобках. |
| Группировка слагаемых | Объединить члены в группы и вынести общий множитель в каждой. | Можно получить одинаковые скобки в разных группах. | Раскрыть итоговые скобки и сравнить с исходным многочленом. |
| Общий множитель для всех членов | Проверить все члены, выбирая наибольший общий числовой и буквенный множитель. | У каждого члена есть общий числовой делитель и, возможно, общие буквы. | Убедиться, что вынесенный множитель присутствует в каждом члене. |
| Одинаковая скобка после разложения групп | Вынести одинаковое выражение за скобки ещё раз. | После преобразования групп внутри каждой появилась одна и та же скобка. | Умножить полученное произведение и проверить все знаки. |
Разберём три выражения: в первом сразу виден общий множитель, а во втором и третьем пригодится группировка. В каждом решении сначала выбираем подходящий способ, а затем проверяем, что преобразование сохраняет все члены и знаки. Шаги показывают, как не потерять множитель или слагаемое.
Разложите на множители многочлен 6x³ − 9x². Оба члена содержат числовой множитель 3 и буквенный множитель x². Поэтому вынесем их вместе: это наибольший общий множитель членов.
Ответ: 3x²(2x − 3). При умножении получаем 6x³ и −9x², значит, оба исходных члена восстановлены.
Разложите ax + ay + 3x + 3y. Общего буквенно-числового множителя для всех четырёх членов нет, поэтому попробуем сгруппировать их попарно. Пары ax + ay и 3x + 3y удобны: в первой общий множитель a, во второй — 3. После вынесения в обеих группах остаётся одна и та же скобка.
Ответ: (a + 3)(x + y). Для проверки раскроем скобки: ax + ay + 3x + 3y — исходный многочлен.
Разложите x³ − 2x² + 5x − 10. Сначала выражение не видно как две пары с общей скобкой, но полезно объединить первые два члена и последние два. В первой группе общий множитель x², а во второй — 5. Так в обеих группах появляется x − 2.
Ответ: (x − 2)(x² + 5). Умножение даёт x³ − 2x² + 5x − 10, поэтому разложение верно.
Выносят не все общие множители или не наибольший из них, поэтому в скобках остаётся общий множитель и разложение получается неполным. Так бывает, если при сравнении одночленов замечают только числа или только буквы. Проверьте каждый член отдельно: он должен делиться на вынесенный множитель. Затем посмотрите, нельзя ли ещё раз разложить выражение в скобках.
При вынесении отрицательного множителя иногда забывают изменить знаки всех членов в скобках. Например, −a − b = −(a + b), а не −(a − b). Ошибка возникает, когда знак перед скобкой воспринимают как относящийся только к первому члену. Раскройте скобки обратно и проверьте знак каждого слагаемого.
Можно правильно объединить слагаемые в группы, но получить после вынесения множителей разные скобки. Тогда преобразование ещё не закончено и общий двучлен вынести нельзя. Обычно неудачно выбраны пары или не замечен минус у множителя. Сравните скобки посимвольно и попробуйте переставить слагаемые либо изменить группировку.
При перестановке или группировке иногда меняют порядок членов и случайно теряют знак. Например, −2x нельзя заменить на 2x только потому, что слагаемое перенесли в другую группу. Такая ошибка возникает, если записывать группы по памяти. Переносите слагаемые вместе со знаками и в конце раскройте скобки: результат должен совпасть с исходной записью.
Для разложения нужно уметь умножать одночлен на многочлен и применять распределительное свойство: именно оно позволяет выносить общий множитель. Также понадобятся приведение подобных слагаемых и поиск общего числового и буквенного множителя. Эти навыки помогают выбрать, что вынести и как сгруппировать члены. Позже разложение на множители пригодится при решении уравнений, сокращении алгебраических дробей и преобразовании выражений.
Как понять, что многочлен можно разложить группировкой?
Попробуйте объединить слагаемые так, чтобы в каждой группе нашёлся общий множитель. После его вынесения скобки в группах должны совпасть. Тогда эту скобку можно вынести ещё раз.
Как выбрать, какие слагаемые объединить в группы?
Ищите слагаемые, у которых есть удобный общий множитель и после его вынесения остаётся одна и та же скобка. Иногда для этого нужно переставить члены многочлена. При перестановке сохраняйте знаки слагаемых.
Нужно ли всегда выносить наибольший общий множитель?
Лучше выносить наибольший общий множитель: так разложение сразу получается полнее. Если вынести только часть общего множителя, равенство останется верным, но в скобках может сохраниться ещё один общий множитель.
Что делать, если после группировки скобки не совпадают?
Проверьте выбор групп, вынесенные множители и знаки внутри скобок. Попробуйте изменить порядок слагаемых или объединить их иначе. Если совпадающую скобку получить не удаётся, выбранная группировка не подходит.
Как проверить, что разложение на множители выполнено правильно?
Умножьте полученные множители, используя распределительное свойство. После раскрытия скобок должны получиться исходные слагаемые с теми же коэффициентами и знаками. Если выражения различаются, найдите ошибку в преобразовании.
§ 9. Способы разложения многочлена на множители
