28. Вынесение общего множителя за скобки

Определения и обозначения

Общий множитель — это число, переменная или произведение, которое является множителем каждого слагаемого многочлена. Например, в выражении 6x + 9 оба слагаемых делятся на 3, поэтому 3 — их общий множитель. Чтобы его найти, сравнивают коэффициенты и буквенные части всех слагаемых.

Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы или разности слагаемых в произведение общего множителя и выражения в скобках. Так, сумму 6x + 9 можно представить как 3(2x + 3). Этот приём позволяет записать многочлен короче и увидеть, из каких частей составлено выражение.

Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения нескольких выражений. Например, 3(2x + 3) — форма произведения, равная многочлену 6x + 9. Вынесение общего множителя — один из способов такого разложения; оно помогает подготовить выражение к дальнейшим преобразованиям.

Как это устроено

Основа вынесения общего множителя — распределительное свойство умножения: ab + ac = a(b + c). В обратную сторону оно означает, что общий множитель a можно убрать из каждого слагаемого суммы и записать один раз перед скобками. Значит, вынесение множителя — действие, обратное раскрытию скобок. Например, из 5x + 5y получаем 5(x + y).

Для числовой части общего множителя ищут наибольший общий делитель коэффициентов. Это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты без остатка: например, для 12 и 8 это 4. Выбор наибольшего делителя обычно даёт более простое разложение, чем вынос меньшего общего числа. Если коэффициенты отрицательные, при поиске их делимости учитывают их модули.

Чтобы выбрать буквенную часть, проверяют каждую переменную во всех слагаемых. В общий множитель включают только переменные, которые встречаются в каждом из них, причём в наименьшей степени. Например, у a²b и ab³ общая часть — ab: переменная a есть в обоих слагаемых в степени не ниже первой, и то же верно для b. Более высокую степень взять нельзя, потому что она не делит хотя бы одно слагаемое.

После выбора полного множителя каждое слагаемое делят на него, а результаты записывают в скобках, сохраняя порядок слагаемых и их знаки. Проверка устроена просто: нужно умножить внешний множитель на каждый член скобок по распределительному свойству. Если при раскрытии скобок снова получилось исходное выражение, разложение верно. Такая проверка особенно полезна для разностей, где легко ошибиться со знаком.

Иногда удобно вынести отрицательный множитель, например −1 или −3x. При делении каждого слагаемого на отрицательное число знак результата меняется, поэтому в скобках знаки становятся противоположными. Так можно сделать первое слагаемое в скобках положительным или привести запись к более удобному виду. Правильность выбранного знака также проверяют раскрытием скобок.

Как найти и вынести общий множитель

Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала найдите числовую и буквенную части, затем соедините их в полный множитель. После деления каждого слагаемого проверьте запись раскрытием скобок. Если один из коэффициентов или членов не восстанавливается, вернитесь к поиску общего множителя.

Разбор задач

Разложите на множители 6x + 9.

1. Найдём общий множитель коэффициентов 6 и 9. Их наибольший общий делитель равен 3.
2. Буквенной общей части нет: переменная x есть только в первом слагаемом. Значит, выносим 3.
3. Делим каждое слагаемое на 3: 6x : 3 = 2x, 9 : 3 = 3. Записываем результат: 3(2x + 3).
4. Проверяем: 3 · 2x + 3 · 3 = 6x + 9. Получилось исходное выражение.

Ответ: 3(2x + 3).

Разложите на множители 12a²b − 8ab².

1. Числовые коэффициенты 12 и 8 имеют наибольший общий делитель 4.
2. Переменные a и b присутствуют в обоих слагаемых. Наименьшая степень a равна первой, и наименьшая степень b тоже равна первой, поэтому общая буквенная часть — ab.
3. Полный общий множитель равен 4ab. Делим оба слагаемых: 12a²b : 4ab = 3a, а 8ab² : 4ab = 2b.
4. Сохраняем знак минус между результатами и получаем 4ab(3a − 2b). Проверка: 4ab · 3a − 4ab · 2b = 12a²b − 8ab².

Ответ: 4ab(3a − 2b).

Разложите на множители −6x² + 9x − 3x³.

1. Общий делитель коэффициентов 6, 9 и 3 равен 3. Во всех слагаемых есть x, а наименьшая степень этой переменной — первая, поэтому общий множитель можно взять 3x.
2. Удобно вынести −3x, чтобы первое слагаемое в скобках стало положительным. Делим каждое слагаемое: −6x² : (−3x) = 2x, 9x : (−3x) = −3, −3x³ : (−3x) = x².
3. Записываем результат в том же порядке: −3x(2x − 3 + x²). Проверяем знаки: −3x · 2x = −6x², −3x · (−3) = 9x, −3x · x² = −3x³.

Ответ: −3x(2x − 3 + x²).

Типичные ошибки

• Иногда выносят число, которое делит не все коэффициенты. Это случается, если проверить только первое и последнее слагаемые или забыть о делимости нацело. Проверьте деление каждого коэффициента; например, 4 нельзя вынести из 6x + 8, потому что 6 на 4 не делится.

• Бывает, что в общий множитель включают переменную в слишком высокой степени. Причина — сравнение только слагаемых, где степень больше, без проверки остальных. Возьмите наименьшую степень переменной среди всех слагаемых и убедитесь, что она делит каждое из них.

• Можно правильно найти общий множитель, но забыть разделить на него одно из слагаемых. Тогда выражение в скобках получается неверным. Разделите каждый член отдельно и проверьте, что умножение каждого результата на вынесенный множитель восстанавливает соответствующее слагаемое.

• При вынесении отрицательного числа часто оставляют прежний знак внутри скобок. Ошибка возникает потому, что знаки не сверяют после деления на отрицательный множитель. Делите каждый член с его знаком, а затем раскройте скобки: так сразу станет видно, верны ли знаки.

Связь с другими темами

Перед вынесением общего множителя нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: оно объясняет, почему преобразование работает. Также пригодятся правила действий с одночленами, то есть выражениями из чисел и переменных, соединённых умножением. По ним удобно делить коэффициенты и буквенные части слагаемых.

Вынесение общего множителя используют как первый шаг при дальнейшем разложении многочленов на множители. Оно также пригодится при решении уравнений: если произведение равно нулю, можно рассмотреть случаи, когда один из множителей равен нулю. Поэтому правильный выбор общего множителя помогает перейти от сложного выражения к более простым частям.

Что запомнить

• Вынесение множителя за скобки — действие, обратное раскрытию скобок.
• Общий множитель должен входить в каждое слагаемое.
• Для числовой части ищут наибольший общий делитель коэффициентов.
• В общую буквенную часть включают только переменные, присутствующие во всех слагаемых.
• Степень общей переменной выбирают наименьшую из степеней в слагаемых.
• Правильность разложения можно проверить раскрытием скобок.