27. Умножение одночлена на многочлен

Определения и обозначения

Одночлен — произведение чисел и переменных, возведённых в натуральные степени. Например, 4x²y — одночлен: его числовая часть равна 4, а буквенная — x²y. Одночлен можно записать в стандартном виде: сначала поставить числовой коэффициент, затем переменные, а одинаковые переменные объединить, сложив их показатели. Такая запись помогает быстрее умножать одночлены и сравнивать их.

Многочлен — сумма одночленов. Например, 2x² − 3y + 5 состоит из трёх одночленов; они могут содержать разные переменные и разные степени. Знаки «плюс» и «минус» относятся к соответствующим слагаемым, поэтому при умножении их нельзя терять. Представление выражения как суммы нужно, чтобы применить к нему распределительное свойство.

Умножение одночлена на многочлен — действие, при котором одночлен умножают на каждый член многочлена. Например, в выражении 2x(a + b) множитель 2x применяется и к a, и к b. Это правило позволяет раскрыть скобки и записать результат без них. Оно работает и тогда, когда в многочлене есть слагаемые с минусом.

Распределительное свойство умножения — правило, по которому множитель перед суммой умножается на каждое слагаемое: a(b + c) = ab + ac. Для разности действует тот же принцип: a(b − c) = ab − ac. Это не отдельный способ вычислений, а следствие того, как умножение связано со сложением и вычитанием. Именно это свойство объясняет, почему одночлен распределяют по всем членам многочлена.

Как это устроено

В основе раскрытия скобок лежит равенство a(b + c) = ab + ac. Оно говорит, что умножить на сумму можно двумя равнозначными способами: сначала сложить слагаемые и умножить сумму или отдельно умножить на каждое слагаемое и сложить результаты. Второй способ удобен, когда внутри скобок записаны разные одночлены. Для разности знак минус рассматривают как часть второго слагаемого: a(b − c) = ab − ac.

Сначала находят произведение внешнего одночлена и первого члена многочлена, затем переходят к следующему и продолжают, пока слагаемые не закончатся. При этом сохраняют их порядок: так легче заметить, что ни один член не пропущен. Знак каждого результата зависит от знаков обоих множителей, поэтому минус перед слагаемым нужно учитывать сразу. После распределения исходная скобка исчезает, а вместо неё появляется сумма полученных произведений.

Каждое полученное произведение вычисляют по правилам умножения одночленов. Числовые коэффициенты перемножают, а степени одной и той же переменной объединяют сложением показателей: например, 2x² · 3x = 6x³, потому что x² · x = x³. У разных переменных основания разные, поэтому их показатели не складывают: x² · y остаётся x²y. Так буквенная часть сохраняет сведения о том, какие переменные входят в произведение.

После умножения на многочлен получается несколько отдельных произведений, потому что первоначальная сумма состоит из нескольких слагаемых. Каждое из них образует своё слагаемое ответа, а знаки этих слагаемых задаются исходным многочленом и множителем. Например, при умножении на сумму из трёх членов образуются три произведения. Поэтому удобно сверить количество результатов с количеством слагаемых в скобках.

Полученные одночлены записывают в стандартном виде: приводят коэффициенты и буквенные части к обычному порядку, выполняя умножение степеней. Если в ответе есть подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью, их коэффициенты складывают или вычитают. Например, 2x + 5x = 7x, а 2x + 5y объединить нельзя. Это упрощение выполняют после распределения множителя, чтобы не спутать разные части выражения.

Умножение одночлена на многочлен

В таблице показан порядок раскрытия скобок: двигайся от первого слагаемого к последнему, а затем проверь полученный результат. В графе «Пример» дано выражение, по которому удобно проследить этапы. Проверяй, что множитель встретился в каждом произведении и знаки не изменились.

Разбор задач

Задача 1. Выполнить умножение: 3x(2x + 5). Здесь в скобках два слагаемых, значит, нужно получить два произведения. Сначала умножим на член с переменной, а затем — на число 5.

1. Применяем распределительное свойство: 3x · 2x + 3x · 5.
2. В первом произведении перемножаем коэффициенты и складываем показатели x: 3x · 2x = 6x².
3. Во втором произведении получаем 3x · 5 = 15x; записываем результат: 6x² + 15x.

Ответ: 6x² + 15x. Слагаемые не подобны: в одном есть x², а в другом x, поэтому складывать их нельзя. Проверка распределения показывает два результата для двух слагаемых скобки.

Задача 2. Выполнить умножение: −2a²(3a − 4b + 1). В скобках три члена, поэтому множитель −2a² нужно умножить на каждый из них. Особое внимание уделим знакам: второй член отрицательный, а внешний множитель тоже отрицателен.

1. Записываем три произведения: (−2a²) · 3a + (−2a²) · (−4b) + (−2a²) · 1.
2. В первом произведении коэффициенты дают −6, а a² · a = a³: получаем −6a³.
3. Во втором два отрицательных множителя дают положительный результат: 8a²b.
4. В третьем произведении получаем −2a². Собираем результаты: −6a³ + 8a²b − 2a².

Ответ: −6a³ + 8a²b − 2a². Слагаемые различаются буквенной частью, поэтому привести их подобными нельзя. В выражении остались три слагаемых — столько же, сколько было в скобках.

Задача 3. Упростить выражение: ½xy(6x² − 4xy + 8y²). Надо раскрыть скобки, перемножив внешний одночлен с каждым из трёх членов. В каждом результате отдельно обработаем коэффициенты и буквенные части, чтобы не перепутать показатели x и y.

1. Распределяем множитель: ½xy · 6x² + ½xy · (−4xy) + ½xy · 8y².
2. Перемножаем коэффициенты и степени: ½ · 6 = 3, xy · x² = x³y; первый результат — 3x³y.
3. Для второго произведения ½ · (−4) = −2, а xy · xy = x²y²; получаем −2x²y².
4. В третьем произведении ½ · 8 = 4, а xy · y² = xy³. Итог: 3x³y − 2x²y² + 4xy³.

Ответ: 3x³y − 2x²y² + 4xy³. Показатели складывались только у одинаковых переменных: например, y · y² = y³. Подобных слагаемых в ответе нет.

Типичные ошибки

Иногда одночлен умножают только на первый член многочлена и забывают остальные слагаемые. Это случается, если ученик воспринимает скобки как единый множитель и перестаёт следить за их содержимым. Для проверки посчитай члены в скобках и сравни с количеством записанных произведений. На каждый член должен приходиться ровно один результат.

Другая ошибка — неверный знак, особенно когда умножают отрицательный одночлен на отрицательное слагаемое. Минус перед членом скобок является частью этого множителя, а произведение двух отрицательных чисел положительно. Проверяй знаки отдельно от буквенной части: сначала определи, одинаковы ли знаки множителей, затем вычисляй коэффициенты. Так проще обнаружить потерянный минус.

Нельзя складывать показатели степеней у разных переменных: например, x² · y³ не становится x⁵. Показатели складывают только тогда, когда основания одинаковы, поскольку перемножаются степени одной и той же переменной. Чтобы проверить запись, выпиши отдельно произведение буквенных частей и найди повторяющиеся переменные. Если переменная встретилась один раз, её показатель не меняется.

Можно забыть умножить коэффициенты или ошибиться в их произведении, сосредоточившись на переменных. Например, в 3x · 2x нужно перемножить и 3 · 2, и x · x. Проверяй каждый результат в двух частях: сначала коэффициенты со знаками, затем переменные с показателями. После этого собери обе части в один одночлен.

Связь с другими темами

Для раскрытия скобок нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Ещё понадобится умение умножать одночлены: перемножать коэффициенты и складывать показатели одинаковых переменных. Эти действия соединяются в одном алгоритме, когда одночлен умножают на каждый член многочлена. Позже правило пригодится для преобразования алгебраических выражений и упрощения вычислений.

Что запомнить

• Одночлен умножают на каждый член многочлена.
• При умножении на сумму или разность сохраняют знаки слагаемых.
• Коэффициенты одночленов перемножают.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• Результат записывают как сумму полученных произведений.
• После раскрытия скобок при необходимости приводят подобные слагаемые.