"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Умножение одночлена на многочлен помогает раскрывать скобки и упрощать выражения. Одночлен перед скобками нужно умножить на каждое слагаемое внутри, сохраняя знаки. При умножении коэффициенты перемножают, а показатели степеней одинаковых переменных складывают. Полученные произведения записывают как слагаемые и, если возможно, приводят подобные. Этот приём пригодится при решении уравнений и преобразовании выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, например 5x²y. Числовая часть 5 называется коэффициентом, а x²y — буквенной частью. Это различие помогает при умножении: числа перемножают отдельно от степеней переменных.
Многочлен — сумма одночленов, например 2x + 3y − 1. Его слагаемые обычно заключают в скобки, когда многочлен умножают на другое выражение. Скобки показывают, что множитель относится ко всей сумме, а не к одному её члену.
Умножение одночлена на многочлен — это умножение одночлена на каждый член многочлена с последующим сложением полученных произведений. Так, в выражении 3( x + 2 ) нужно найти оба произведения: 3x и 6. Это правило позволяет убрать скобки, не изменив значение выражения.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило, по которому a(b + c) = ab + ac. Оно объясняет, почему множитель распределяют по всем слагаемым внутри скобок. Без этого свойства раскрытие скобок могло бы изменить исходное выражение.
Пусть перед скобками стоит одночлен, а внутри — сумма. По распределительному свойству произведение одночлена на эту сумму равно сумме отдельных произведений: каждый член скобок как бы умножается отдельно. Например, a(b + c) превращается в ab + ac, потому что умножение на сумму должно учитывать и b, и c. Если внутри больше двух слагаемых, правило действует точно так же для каждого из них.
Когда умножают одночлен на одночлен, сначала перемножают коэффициенты, а затем отдельно работают с буквами. Если переменная повторяется, складывают её показатели: x² · x³ = x⁵, поскольку это произведение пяти множителей x. Переменные с разными буквами просто записывают рядом: 2a · 3b = 6ab. Такой порядок помогает не смешивать числовую и буквенную части.
Знак каждого результата зависит от знаков обоих множителей: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Например, −2a · 3a = −6a², а −2a · (−4b) = 8ab. Знак минус в скобках относится к самому слагаемому, поэтому при умножении на положительный множитель произведение остаётся отрицательным. Если перед скобками стоит отрицательный одночлен, знаки произведений нужно определить заново для каждого члена.
После распределения скобки исчезают, а полученные произведения записывают как слагаемые, сохраняя их знаки. Затем можно проверить, есть ли среди них подобные слагаемые — такие, у которых совпадают буквенная часть и показатели степеней. Подобные слагаемые складывают или вычитают, объединяя их коэффициенты, например 2x + 5x = 7x. Неподобные слагаемые объединять нельзя.
Проверить преобразование можно подстановкой чисел вместо переменных: значение выражения до и после раскрытия скобок должно совпасть. Например, в равенстве 3x(x + 2) = 3x² + 6x подставим x = 1: слева получится 9, справа тоже 9. Такая проверка помогает заметить пропущенное слагаемое или ошибку в знаке. Она не заменяет правило, но даёт быструю проверку вычислений.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Умножение на первое слагаемое | Умножить одночлен перед скобками на первый член внутри. | Не потерять знак первого слагаемого. |
| Умножение на каждое следующее слагаемое | Повторить умножение для всех остальных членов скобок. | Множитель перед скобками действует на каждый член. |
| Определение знака каждого произведения | Определить знак по знакам двух множителей. | Минус в скобках относится к своему слагаемому. |
| Запись суммы полученных произведений | Записать все произведения как слагаемые. | Сохранить знаки между слагаемыми. |
| Приведение подобных слагаемых, если они есть | Объединить слагаемые с одинаковой буквенной частью и степенями. | Коэффициенты складывают, сами буквы не меняют. |
Двигайтесь по строкам таблицы сверху вниз: сначала выполните умножения, затем соберите результаты в сумму. После этого проверьте, можно ли объединить какие-либо слагаемые. Если подобных нет, последнее действие не требуется.
Задача 1. Выполнить умножение: 3x(2x + 5).
Ответ: 6x² + 15x.
Задача 2. Выполнить умножение и упростить: −2a(3a − 4b + 1).
Ответ: −6a² + 8ab − 2a.
Задача 3. Упростить выражение: 4x(2x − 3) − 2x(x + 5).
Ответ: 6x² − 22x.
Ошибка: умножить одночлен только на первое слагаемое в скобках. Так происходит, если читать скобки как обычное продолжение записи, а не как сумму целиком. Проверьте себя: число произведений должно совпадать с числом слагаемых в скобках.
Ошибка: потерять знак слагаемого, особенно минус перед ним. Ученик может перенести коэффициент, но забыть, что умножал отрицательное число. Перед вычислением отметьте знак каждого множителя и проверьте, одинаковые они или разные.
Ошибка: перемножить показатели степеней одинаковых переменных. Например, вместо x² · x³ = x⁵ записать x⁶. Показатели складывают, потому что при раскрытии степеней получается общее число одинаковых множителей; проверьте правило на записи x · x · x.
Ошибка: складывать или вычитать неподобные одночлены, например 2x + 3x². Такая попытка кажется возможной из-за общих букв, но степени у слагаемых различаются. Перед приведением сравните и буквенную часть, и все показатели; объединяйте только полностью совпадающие буквенные части.
Для умножения одночлена на многочлен нужны распределительное свойство и правила действий с отрицательными числами. Также важно уметь умножать одночлены и применять правило степеней с одинаковыми основаниями: показатели складываются. Эти знания используются при раскрытии скобок и упрощении выражений. Такие преобразования помогают решать уравнения, когда нужно привести их к более удобному виду.
Почему одночлен нужно умножать на каждое слагаемое в скобках?
Так работает распределительное свойство умножения относительно сложения: множитель относится ко всей сумме, а не только к её первому члену. Поэтому произведение равно сумме произведений этого множителя на каждое слагаемое.
Как определить знак произведения, если перед скобками стоит минус?
Минус перед скобками можно считать множителем −1. При умножении знак каждого слагаемого меняется на противоположный: плюс становится минусом, а минус — плюсом.
Что делать, если в одночленах есть одинаковые переменные в степенях?
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: например, a² · a³ = a⁵. Коэффициенты при этом перемножают отдельно.
Можно ли сразу привести подобные слагаемые до умножения?
Обычно сначала раскрывают скобки, а затем приводят подобные слагаемые. До умножения можно упростить выражение внутри скобок, если там уже есть подобные слагаемые.
Как проверить результат умножения одночлена на многочлен?
Можно подставить вместо переменных удобные числа и сравнить значения исходного и полученного выражений. Также проверьте, что множитель был умножен на каждое слагаемое и знаки произведений указаны верно.
§ 11 Умножение одночлена на многочлен
