"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить его на каждое слагаемое в скобках, а затем сложить полученные произведения. Это правило следует из распределительного свойства умножения и помогает раскрывать скобки в выражениях. При вычислениях перемножают коэффициенты, складывают показатели степеней одинаковых переменных и внимательно следят за знаками. Если после раскрытия скобок появились подобные слагаемые, их приводят.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — произведение числового коэффициента и степеней переменных. Например, в записи −3x²y коэффициент равен −3, а буквенная часть — x²y. Чтобы выполнить умножение, удобно сначала отдельно заметить число и переменные: так легче не потерять знак и правильно посчитать степени.
Многочлен — сумма одночленов, например 2x + 5 или 3a − 4b + 1. Каждая часть суммы, отделённая знаком плюс или минус, называется слагаемым. При умножении на многочлен эти слагаемые рассматривают по очереди, потому что скобки объединяют их в сумму, а не превращают в одно произведение.
Умножение одночлена на многочлен — действие, при котором одночлен умножают на каждое слагаемое многочлена, а полученные произведения складывают. Так можно убрать скобки и представить выражение в виде суммы одночленов. Это нужно для упрощения выражений и дальнейших вычислений.
Распределительное свойство умножения относительно сложения выражается равенством a(b + c) = ab + ac. Оно означает, что умножение суммы на число или выражение равносильно умножению каждого слагаемого на этот множитель. Именно это свойство задаёт правило раскрытия скобок.
Распределительное свойство позволяет заменить произведение множителя на сумму суммой произведений: a(b + c) = ab + ac. Поэтому одночлен перед скобками нужно умножить на каждое слагаемое внутри них, не пропуская ни одного. Для трёх слагаемых правило продолжается так же: a(b + c + d) = ab + ac + ad. Скобки раскрыты, когда множитель распределён по всей сумме.
Каждое полученное произведение считают как произведение одночленов. Сначала умножают числовые коэффициенты, затем переменные: одинаковые переменные сохраняют, а их показатели складывают, потому что степени означают повторное умножение. Например, 2x · 3x² = 6x³: коэффициенты дают 6, а x · x² = x³. Переменные с разными буквами записывают рядом.
Знак учитывают при каждом умножении отдельно. Если перед скобками стоит отрицательный одночлен, он умножает все слагаемые, но результат не обязательно будет отрицательным: минус на минус даёт плюс. Например, −2a · (−4b) = 8ab. Поэтому полезно сначала определить знак произведения, а уже потом записать его коэффициент и буквенную часть.
После раскрытия скобок могут появиться подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью. Их можно объединить, складывая или вычитая коэффициенты: например, 3x + 5x = 8x. Это возможно потому, что складываются одинаковые части выражения, как одинаковые предметы. Слагаемые вроде 3x и 3x² подобными не являются, поэтому их оставляют отдельно.
Преобразование можно проверить обратным действием: вынести общий множитель и снова раскрыть скобки. Например, результат 6x² + 15x можно записать как 3x(2x + 5). Также можно подставить вместо переменной удобное число и сравнить значения выражений до и после преобразования. Совпадение при подстановке служит проверкой, хотя для полного доказательства равенства достаточно правильно применить распределительное свойство.
| Что умножаем | Преобразование | Действия с коэффициентами и переменными | Что сделать после раскрытия скобок |
|---|---|---|---|
| Одночлен на сумму одночленов | a(b + c) = ab + ac | Перемножить коэффициенты и сложить показатели степеней одинаковых переменных | Привести подобные слагаемые, если они есть |
| Одночлен с отрицательным коэффициентом на многочлен | −a(b + c) = −ab − ac | Учитывать знак произведения в каждом слагаемом | Проверить знаки и привести подобные слагаемые |
Сначала найдите в таблице подходящий вид множителя и примените указанное преобразование ко всем слагаемым. Затем проверьте вычисления коэффициентов, переменных и знаков в каждом произведении. В конце выясните, есть ли слагаемые с одинаковой буквенной частью, которые можно объединить.
В скобках сумма двух слагаемых, поэтому 3x нужно умножить и на 2x, и на 5. В первом произведении переменная x встречается дважды, значит, её показатели складываются. Во втором произведении буквенная часть остаётся x.
Ответ: 6x² + 15x. Проверить его можно, вынеся общий множитель 3x: получится 3x(2x + 5), то есть исходное выражение. Такая проверка подтверждает, что оба слагаемых учтены.
Отрицательный множитель нужно распределить на все три слагаемых. Особенно внимательно проверим второе произведение: отрицательное число умножается на отрицательное слагаемое, поэтому результат будет положительным. Последнее слагаемое можно рассматривать как 1.
Ответ: −6a² + 8ab − 2a. Если вынести −2a за скобки, получим −2a(3a − 4b + 1). Это обратное раскрытие показывает, что каждое слагаемое исходного многочлена было учтено.
Здесь вычитается произведение x на вторую скобку. Удобно считать, что перед второй скобкой стоит множитель −x: тогда он распределяется на оба слагаемых и сразу учитывает внешний минус. После раскрытия скобок сравним буквенные части слагаемых.
Ответ: 5x² − 6x. Важно не забыть, что внешний минус меняет знаки обоих слагаемых второй скобки. При обратной проверке можно вынести x: получится x(5x − 6), что соответствует полученному результату.
Ошибка: умножить одночлен только на первое слагаемое в скобках. Так бывает, если воспринимать скобки как единый множитель и забыть, что внутри стоит сумма. Проверьте, что напротив каждого слагаемого записано отдельное произведение; число произведений должно совпадать с числом слагаемых.
Ошибка: перемножить показатели степеней одинаковой переменной, например записать x² · x³ = x⁶. Показатели здесь не перемножают: степени означают повторение одной и той же переменной, поэтому их количество складывается, и получается x⁵. Для проверки можно раскрыть степени: x² · x³ = (x · x)(x · x · x) = x⁵.
Ошибка: неверно поставить знак, особенно при отрицательном множителе. Часто знак определяют для всей скобки сразу, хотя каждое произведение нужно проверить отдельно. Перепишите множитель перед каждым слагаемым и примените правило знаков; затем убедитесь, что минус распределён по всей скобке.
Ошибка: сложить слагаемые с разными буквенными частями, например 2x + 3x² = 5x³. Такое сложение не объединяет одинаковые части, поэтому запись неверна. Приводить можно только слагаемые с одной и той же буквенной частью; для самопроверки подчеркните её и сравните во всех слагаемых.
Для умножения одночлена на многочлен понадобятся распределительное свойство умножения относительно сложения и правила умножения одночленов. Если эти правила понятны, раскрытие скобок сводится к последовательным вычислениям и проверке знаков. Умение раскрывать скобки используется при упрощении выражений и решении уравнений. Оно также помогает раскладывать многочлен на множители, когда нужно выполнить обратное преобразование и вынести общий множитель.
Почему одночлен нужно умножать на каждое слагаемое в скобках?
Скобки обозначают сумму, и по распределительному свойству множитель перед ними относится к каждому слагаемому. Если умножить только на первое, часть суммы останется без учёта и выражение изменится.
Как умножать степени одинаковых переменных?
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, x² · x³ = x⁵.
Что происходит со знаками, если перед скобками стоит отрицательный одночлен?
Отрицательный одночлен умножают на каждое слагаемое отдельно. Поэтому знак каждого произведения определяют по правилам умножения знаков: например, минус на плюс даёт минус, а минус на минус — плюс.
Нужно ли приводить подобные слагаемые после раскрытия скобок?
Да, если в результате есть подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью. Их коэффициенты складывают или вычитают, а слагаемые с разными буквенными частями объединять нельзя.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Можно вынести общий множитель и выполнить обратное раскрытие скобок. Ещё один способ — подставить вместо переменных числа и сравнить значения исходного и преобразованного выражений.
4.2.4. Умножение одночлена на многочлен
