"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Сложение многочленов — это объединение нескольких многочленов в одну сумму с последующим упрощением выражения. Сначала записывают многочлены в скобках, затем раскрывают скобки без изменения знаков, группируют подобные одночлены и складывают их коэффициенты. Буквенная часть подобных одночленов не меняется. Результат записывают в стандартном виде.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, 3x² − 5x + 1 состоит из трёх одночленов: 3x², −5x и 1. Отдельный одночлен тоже может быть записан как слагаемое многочлена, поэтому с ним выполняют такие же преобразования.
Сложение многочленов — действие, при котором несколько многочленов объединяют в одну сумму и приводят к более простому виду. Например, вместо двух выражений можно получить один многочлен. Это нужно, чтобы результат было легче читать, сравнивать и использовать в дальнейших вычислениях.
Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью. Их коэффициенты могут различаться: 4a² и −7a² подобны, а 4a и 4a² — нет. Умение находить подобные одночлены позволяет объединять слагаемые и сокращать запись.
Стандартный вид многочлена — запись, в которой раскрыты скобки и приведены подобные одночлены. Обычно слагаемые также располагают в удобном порядке, например по убыванию степеней. Такой вид помогает быстро увидеть состав выражения и проверить результат.
Сначала сумму многочленов записывают в скобках: (3x + 2) + (5x − 7). Скобки сохраняют границы каждого многочлена и помогают не потерять его слагаемые. Особенно это полезно, когда внутри есть отрицательные числа или несколько буквенных членов.
Скобки, перед которыми стоит знак «плюс», раскрывают без изменения знаков слагаемых. Причина в том, что прибавление выражения не меняет его значения: A + (B − C) = A + B − C. Если бы перед скобками стоял минус, знаки внутри пришлось бы изменить, но при сложении этого делать не нужно.
После раскрытия скобок все слагаемые оказываются в одной сумме. Их группируют по одинаковой буквенной части, потому что складывать можно только подобные одночлены. Например, члены с x² собирают вместе, отдельно рассматривают члены с x, а свободные числа объединяют с другими свободными числами.
У подобных одночленов складывают коэффициенты, а буквенную часть оставляют прежней: 3x² + 5x² = (3 + 5)x² = 8x². Это следует из распределительного свойства умножения: 3x² + 5x² = (3 + 5) · x². Показатель степени не складывается, поскольку x² уже является общей буквенной частью обоих слагаемых.
В конце получают многочлен в стандартном виде. Подобные слагаемые уже объединены, скобок нет, а члены при необходимости упорядочены по степеням. Такая запись уменьшает количество действий в следующих примерах и делает ответ удобным для проверки.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Запись суммы | Записать многочлены в скобках и соединить знаком «плюс» | Не потерять границы и знаки слагаемых |
| Раскрытие скобок | Убрать скобки, сохранив знаки | Перед скобками стоит плюс |
| Группировка подобных одночленов | Собрать вместе члены с одинаковой буквенной частью | Не объединять разные степени и буквы |
| Сложение коэффициентов | Сложить числовые множители у подобных членов | Буквенную часть не изменять |
| Запись результата в стандартном виде | Записать упрощённый многочлен без скобок | Проверить все слагаемые и их знаки |
Пользуйся таблицей как коротким алгоритмом: переходи к следующей строке только после выполнения предыдущей. Если в ответе осталось несколько подобных одночленов, значит, нужно ещё раз проверить группировку.
При сложных выражениях полезно выписывать все слагаемые в одну строку, сохраняя их знаки. Затем можно отдельно проверить коэффициенты при каждой буквенной части.
Сложим многочлены 3x + 2 и 5x − 7. В них есть две пары подобных слагаемых: члены с x и свободные числа. Поэтому каждый тип слагаемых обработаем отдельно.
Ответ: 8x − 5.
Сложим 2a² − 3a + 4 и a² + 5a − 6. Здесь отдельно рассматриваются члены с a², члены с a и свободные числа. Слагаемые разной степени объединять нельзя.
Ответ: 3a² + 2a − 2.
Рассмотрим выражение 4x² − (2x − 3y + 1) и (x² + 5x − y) + (3 − 2x²). Сначала выпишем сумму этих многочленов, затем внимательно раскроем все скобки. Знак минус перед первой внутренней скобкой меняет знаки её слагаемых.
Ответ: 3x² + 3x + 2y + 2.
Первая ошибка — менять знаки после знака «плюс»: например, превращать +(a − b) в −a + b. Так поступают по привычке после изучения вычитания скобок. Проверь себя: если перед скобками стоит плюс, перепиши каждое слагаемое с прежним знаком.
Нельзя складывать одночлены с разной буквенной частью или степенью, например x и x². Такая ошибка появляется, когда ученик видит одинаковую переменную и не учитывает показатель степени. Проверь буквенную часть целиком, включая все степени и буквы.
При сложении подобных одночленов не складывают показатели степеней: 2x² + 3x² = 5x², а не 5x⁴. Показатель остаётся частью общей буквенной части, потому что складываются только коэффициенты. Для проверки временно вынеси буквенную часть за скобки.
Иногда при переносе слагаемых из скобок теряется член или его знак. Это происходит, если сразу выполнять несколько действий мысленно. Сначала перепиши все слагаемые в одну строку, а затем пересчитай исходные члены перед группировкой.
До сложения многочленов нужно уметь распознавать одночлены и многочлены, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки образуют последовательный алгоритм преобразования выражений.
Сложение многочленов используется при их вычитании, раскрытии более сложных скобок и преобразовании алгебраических дробей. Чем увереннее выполнено сложение, тем меньше ошибок в следующих действиях.
Результат можно проверить подстановкой числовых значений переменных. Если вычислить исходные многочлены и полученную сумму при одних и тех же значениях, результаты должны совпасть.
Нужно ли менять знаки слагаемых, если перед скобками стоит плюс?
Нет, при плюсе перед скобками знаки слагаемых сохраняются. Например, +(a − b) = a − b.
Можно ли складывать одночлены с разными степенями одной переменной?
Нет, одночлены с разными степенями не являются подобными. Поэтому x и x² не объединяют.
Что именно складывают у подобных одночленов?
Складывают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменения. Например, 3x² + 5x² = 8x².
Можно ли переставлять слагаемые многочленов при сложении?
Да, можно использовать переместительное и сочетательное свойства сложения. Это помогает удобно сгруппировать подобные одночлены.
Обязательно ли записывать ответ в стандартном виде?
Желательно, потому что такая запись короче и удобнее для проверки и дальнейших преобразований. В стандартном виде раскрыты скобки и приведены подобные одночлены.
4.2.3. Сложение многочленов
