"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Такие выражения помогают компактно записывать вычисления и преобразовывать алгебраические выражения. Чтобы работать с многочленом, нужно распознавать подобные слагаемые, раскрывать скобки и приводить запись к стандартному виду. После этого можно определить степень многочлена и проверить, равны ли два выражения: для этого сравнивают коэффициенты при одинаковых буквенных частях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение числового коэффициента и степеней переменных с натуральными показателями, например −4a²b. Числовой множитель называют коэффициентом, здесь коэффициент равен −4. Одночлены служат отдельными слагаемыми, из которых составляют более сложные выражения.
Многочлен — сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Знак минус перед слагаемым показывает, что к остальным слагаемым прибавляют противоположный одночлен: −2x означает прибавить −2x. Такое понимание позволяет записывать вычитание как сложение и удобнее выполнять преобразования.
Подобными называются одночлены с одинаковой буквенной частью: например, 3ab и −5ab. Их коэффициенты могут различаться, но переменные и их показатели должны совпадать. Это свойство помогает определить, какие слагаемые можно объединить.
Стандартный вид многочлена получают, объединяя подобные слагаемые и записывая результат как сумму одночленов без скобок. Степень ненулевого многочлена в стандартном виде — наибольшая степень его одночленов. Поэтому перед определением степени нужно сначала упростить запись: слагаемые одинаковой наибольшей степени могут сократиться.
Многочлен составляют из одночленов, соединяя их знаками сложения или вычитания. Например, выражение 2x² − 3x + 1 можно понимать как сумму 2x², −3x и 1. Запись через сумму удобна тем, что каждому слагаемому соответствует свой знак и коэффициент, в том числе отрицательный. Чтобы не путаться при вычитании, его заменяют прибавлением противоположного одночлена.
Путь к стандартному виду начинается с раскрытия скобок. Если перед скобками стоит плюс, знаки слагаемых внутри сохраняются, а если минус — меняются на противоположные: −(a² + 2a − 1) = −a² − 2a + 1. Затем находят подобные слагаемые и объединяют их. Такая последовательность важна: пока скобки не раскрыты, некоторые слагаемые могут быть не видны в нужной форме.
При сложении подобных одночленов буквенная часть остаётся прежней, а складываются только коэффициенты. Например, 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x: это похоже на сложение пяти одинаковых предметов, обозначенных буквой x. У x и x² буквенные части разные, поэтому складывать их коэффициенты нельзя. В выражении 3x + 2x² эти слагаемые остаются раздельными.
Степень одночлена с несколькими переменными находят сложением показателей переменных: у 4a²b³ степень равна 2 + 3 = 5. Степень многочлена определяют по одночлену наибольшей степени после приведения многочлена к стандартному виду. Например, в x³ + 2x² степень равна 3. Если слагаемые наибольшей степени сокращаются, степень нужно искать заново среди оставшихся слагаемых.
Равенство многочленов означает, что при любом значении переменных их значения совпадают. Чтобы проверить его, обе записи приводят к стандартному виду и сравнивают коэффициенты при одинаковых буквенных частях. Например, равенство 2x² + kx − 3 = 2x² − 5x − 3 возможно лишь при k = −5: коэффициенты при x² и свободные члены уже совпадают, а коэффициенты при x должны быть равны. Так проверка выражений сводится к сравнению их частей.
| Объект или действие | Что проверяем | Правило | Пример |
|---|---|---|---|
| Одночлен | Записан ли один произведённый набор множителей | Числовой коэффициент умножен на степени переменных | −4a²b |
| Подобные одночлены | Совпадают ли буквенные части | Показатели и переменные одинаковы; коэффициенты могут различаться | 3ab и −5ab |
| Стандартный вид многочлена | Раскрыты ли скобки и объединены ли подобные | Записать сумму одночленов без повторяющихся буквенных частей | 3x + 2x − 1 = 5x − 1 |
| Степень одночлена | Показатели всех переменных | Сложить показатели переменных | Степень a²b³ равна 5 |
| Степень многочлена | Степени одночленов после упрощения | Взять наибольшую степень оставшегося одночлена | Степень x³ + 2x равна 3 |
| Приведение подобных слагаемых | Одинакова ли буквенная часть | Сложить коэффициенты, буквенную часть сохранить | 7y − 3y = 4y |
Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала выясни, какие слагаемые перед тобой, затем проверь их буквенные части. Для определения степени сначала приведи многочлен к стандартному виду. Это помогает не объединить разные слагаемые и не пропустить сокращение.
Задача 1. Приведите к стандартному виду многочлен 3x + 2x − 5. Здесь два слагаемых содержат одинаковую буквенную часть x, а число −5 является отдельным слагаемым. Поэтому складываем коэффициенты только у первых двух слагаемых.
Ответ: 5x − 5.
Задача 2. Упростите 2a² − 3a + 4 − (a² + 2a − 1) и укажите степень полученного многочлена. Сначала раскрываем скобки: стоящий перед ними минус относится ко всем трём слагаемым. Затем отдельно объединяем слагаемые с a², с a и числа.
Ответ: a² − 5a + 5, степень многочлена равна 2.
Задача 3. Найдите k, если многочлены 2x² + kx − 3 и 2x² − 5x − 3 равны при любом x. Записи уже приведены к стандартному виду. Для равенства при любом значении x коэффициенты при одинаковых степенях должны совпасть.
Ответ: k = −5.
Первая ошибка — складывать коэффициенты у слагаемых с разными буквенными частями, например у x и x². Так делают, заметив одинаковую букву, но забывая проверить показатель степени. Сложение возможно только при совпадении всей буквенной части. Проверь себя: если после объединения буквенная часть изменилась, значит, слагаемые не были подобными.
При раскрытии скобок с минусом иногда меняют знак только у первого слагаемого. Причина в том, что минус воспринимают как относящийся к скобке целиком, а не к каждому её члену. Нужно умножить на −1 каждое слагаемое внутри: −(a + b − c) = −a − b + c. Для проверки раскрой скобки по одному слагаемому.
Степень многочлена иногда считают суммой степеней всех его слагаемых. Но степень многочлена — не сумма степеней: выбирают наибольшую степень отдельного одночлена после упрощения. Например, у x³ + 2x степень равна 3, а не 4. Проверь, что определяешь степень всего выражения по самому старшему слагаемому.
Ещё одна ошибка — определять степень до приведения подобных слагаемых. Слагаемые наибольшей степени могут взаимно уничтожиться, и тогда старшая степень изменится: например, x² − x² + x = x. Сначала раскрой скобки и объедини подобные, а потом ищи наибольшую степень. Для самопроверки убедись, что в записи больше нет одинаковых буквенных частей.
Перед изучением многочленов полезно уметь распознавать одночлены, находить их коэффициенты и степени, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти действия становятся основой упрощения многочлена. Дальше многочлены понадобятся при действиях с алгебраическими выражениями, разложении на множители и решении уравнений. Умение приводить выражение к стандартному виду помогает видеть его состав и выбирать подходящий способ преобразования.
Можно ли считать одночлен многочленом?
Да. Одночлен можно рассматривать как многочлен, состоящий из одного слагаемого. Например, 4x² — это и одночлен, и многочлен.
Какие одночлены называются подобными?
Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть — те же переменные в тех же степенях. Их коэффициенты могут быть разными, например 3ab и −5ab.
Почему слагаемые x и x² нельзя привести?
У них разные буквенные части: в первом слагаемом x, а во втором x². Складываются только коэффициенты при одинаковой буквенной части, поэтому x и x² остаются отдельными слагаемыми.
Как найти степень многочлена, если в нём есть несколько переменных?
Сначала приведи многочлен к стандартному виду, чтобы объединить подобные слагаемые. Степень одночлена находят сложением показателей всех переменных, а степень многочлена — по одночлену с наибольшей степенью.
Как определить, равны ли два многочлена?
Приведи оба многочлена к стандартному виду. Затем сравни коэффициенты при одинаковых буквенных частях: если все соответствующие коэффициенты совпадают, многочлены равны.
4.2.2. Многочлены
