4.2.1. Одночлены

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Например, 5a²b — одночлен: его множители перемножаются, а показатели у переменных натуральные. Это определение помогает отличить одночлен от выражения, где части складываются или вычитаются.

Запись, в которой сначала стоит числовой множитель, а затем степени различных переменных в алфавитном порядке, называют стандартным видом одночлена. Например, запись 3b · a² можно упорядочить как 3a²b. Стандартный вид нужен, чтобы было удобно сравнивать и упрощать одночлены.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. У выражения 4x² коэффициент равен 4, у −y — −1, а у xy, где число не написано, — 1. Зная коэффициент, легче учитывать знак и числовую часть при вычислениях.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в нём. У 2x³y² степень равна 3 + 2 = 5. Ненулевая константа имеет степень 0, а степень нулевого одночлена не определяют; это особый случай, который не следует путать с ненулевым числом.

Как это устроено

В одночлене множители соединены умножением, поэтому переменные в нём не складываются и не вычитаются. Так, 5a²b — произведение, а 3x + 2 — сумма двух выражений, значит, это не один одночлен. Число −7 подходит: его можно представить как произведение из одного числового множителя. А 1/y не подходит, потому что переменная в знаменателе равносильна y⁻¹, где показатель не натуральный.

Чтобы получить стандартный вид, сначала перемножь числа, а затем собери одинаковые переменные. Например, в −3a²b · 4ab³ числовые множители дают −12. Для переменной a показатели 2 и 1 складываются, как при умножении степеней с одинаковым основанием; для b так же складываются 1 и 3. Получаем −12a³b⁴.

Одинаковые переменные собирают в одну степень, потому что при умножении повторяющихся множителей их общее количество становится показателем степени. Например, a² · a означает два множителя a и ещё один, то есть a³. Числа же умножают отдельно и ставят перед переменными: так не теряется коэффициент и запись становится упорядоченной. Если переменная встречается один раз, её показатель равен 1, даже когда единицу не пишут.

Степень находят по стандартной записи, складывая показатели всех переменных. Например, степень 6x²y³ равна 2 + 3 = 5: переменные дают общий вклад в одно произведение, поэтому учитываются все их множители. Наибольший показатель здесь равен 3, но он не является степенью всего одночлена. У ненулевой константы переменных нет, поэтому её степень принимают равной 0.

При упрощении коэффициент меняется только по правилу умножения чисел, поэтому его знак тоже нужно сохранить: например, (−2) · 3 = −6. Переменная с нулевым показателем равна 1, поэтому x⁰ не меняет произведение и в стандартной записи её обычно не оставляют. Так запись сохраняет значение исходного выражения. Нулевой множитель даёт нулевой одночлен, степень которого не определяют.

Одночлен: запись и характеристики

Сначала по таблице проверь, как записан одночлен, затем найди числовой множитель и сложи показатели переменных. Для констант и нулевого одночлена пользуйся отдельными строками: их степени рассматриваются по-разному.

Разбор задач

Задача 1. Определи, какие из выражений 5a²b, 3x + 2, −7 и 1/y являются одночленами. Проверим, состоит ли выражение из перемножаемых множителей с допустимыми степенями; отдельно учтём, что число тоже подходит.

1. В 5a²b перемножаются число и степени переменных с натуральными показателями, значит, это одночлен.
2. В 3x + 2 есть сложение двух частей, поэтому всё выражение не является одним одночленом.
3. −7 — число, следовательно, это одночлен.
4. В 1/y переменная находится в знаменателе, то есть имеет показатель −1; такой показатель не подходит.

Ответ: одночлены — 5a²b и −7.

Задача 2. Приведи −3a²b · 4ab³ к стандартному виду. Разделим множители на числовые и буквенные: так можно отдельно применить умножение чисел и правило умножения степеней с одинаковым основанием.

1. Перемножим коэффициенты: (−3) · 4 = −12. Отрицательный знак сохраняется, потому что множители имеют разные знаки.
2. Объединим степени a: a² · a = a²⁺¹ = a³.
3. Объединим степени b: b · b³ = b¹⁺³ = b⁴.
4. Запишем коэффициент перед переменными: −12a³b⁴.

Ответ: −12a³b⁴.

Задача 3. Для одночлена 2x³y² · (−3xy⁴) найди стандартный вид, коэффициент и степень. Сначала упростим произведение, потому что после этого будет видно и числовой множитель, и показатели всех переменных.

1. Перемножим коэффициенты: 2 · (−3) = −6.
2. Соберём степени x: x³ · x = x³⁺¹ = x⁴; степени y: y² · y⁴ = y²⁺⁴ = y⁶.
3. Получим стандартный вид −6x⁴y⁶. Коэффициент равен −6.
4. Сложим показатели переменных: 4 + 6 = 10.

Ответ: стандартный вид — −6x⁴y⁶, коэффициент — −6, степень — 10.

Типичные ошибки

Считать сумму одночленов одним одночленом. Так происходит, когда сложение путают с умножением множителей. Проверь знаки между частями: в выражении 3x + 2 есть сумма, значит, это не один одночлен; сам каждый её член может быть одночленом.

Перемножать показатели степеней с одинаковым основанием. Ученик может смешать правило умножения степеней с правилом возведения степени в степень. При умножении x² · x³ показатели складывают: 2 + 3 = 5. Для проверки раскрой степени как количество множителей x.

Брать только наибольший показатель, находя степень одночлена. Это ошибка, потому что степень одночлена учитывает все переменные. Для x²y⁴ ответ не 4, а 2 + 4 = 6; проверь, что ни один показатель не пропущен.

Терять знак коэффициента или считать его равным 0, если число не написано. Минус перед переменными означает коэффициент −1, а отсутствие числа — коэффициент 1. Проверяй знак и числовые множители отдельно: например, −a имеет коэффициент −1, а не 0.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужны действия с натуральными числами и дробями, а также правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Без него нельзя правильно объединить повторяющиеся переменные и привести произведение к стандартному виду. Одночлены станут основой для изучения многочленов: многочлен состоит из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Эти навыки пригодятся и при раскрытии скобок и упрощении алгебраических выражений.

Что запомнить

• Одночлен — произведение чисел и переменных в допустимых степенях.
• Число само по себе является одночленом.
• В стандартном виде степени одинаковых переменных объединяют.
• Коэффициент — числовой множитель одночлена.
• Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.