17. Одночлены

Определения и обозначения

Одночлен — произведение чисел и переменных, в котором переменные возведены в целые неотрицательные степени. Например, 5x²y и −3ab — одночлены, а x + 2 и 1/x — нет. Такое определение помогает сразу отличить произведение нужного вида от суммы или выражения с переменной в знаменателе.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой множитель стоит первым, а одинаковые переменные объединены в степени. Например, 2a · 3a²b записывают как 6a³b. Такая запись показывает выражение компактно и позволяет быстро определить его основные характеристики.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартном виде. Например, у 6a³b коэффициент равен 6, а у −x² он равен −1. Если число не написано, перед переменными подразумевается 1, а знак минус означает множитель −1; коэффициентом может быть и 0.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в стандартном виде. У 4a²b³ степень равна 2 + 3 = 5, а у 7x⁴ — 4. Это число характеризует общий порядок множителей с переменными, поэтому коэффициент при подсчёте не учитывают.

Как это устроено

Одночлен состоит из перемножаемых частей, а не из слагаемых: например, 5x²y — это произведение 5, x² и y. Именно поэтому запись x + 2 не подходит: между её частями стоит знак сложения. Показатели должны быть целыми и неотрицательными, так что 1/x тоже не подходит: эту дробь можно записать как x⁻¹, где показатель отрицательный. Такое условие сохраняет одночлены в удобном виде произведения чисел и переменных.

Чтобы привести выражение к стандартному виду, сначала перемножают все числовые множители, а затем собирают одинаковые переменные. Например, в произведении 2a · 3a²b числовая часть даёт 6, а множители a и a² соединяются в a³. Показатели при этом складываются, потому что a · a² = a¹ · a² = a³. Разные переменные, например a и b, остаются отдельными: их показатели нельзя объединить в одну степень.

В стандартной записи коэффициент легко увидеть: это число перед буквенной частью. Если перед переменными ничего не написано, значит, их умножают на 1; так, x²y означает 1 · x²y. Если первым стоит знак минус, числовой множитель равен −1, например −x³y = −1 · x³y. Коэффициент 0 тоже возможен: произведение 0 на любое буквенное выражение равно нулю.

Степень находят, складывая показатели всех переменных, потому что она учитывает общее количество буквенных множителей при повторном раскрытии степеней. У 4a²b³ это 2 + 3 = 5, а у 7x — показатель равен 1. Коэффициент в подсчёт не входит: он не является переменной. У ненулевой константы, например 7, переменных нет, поэтому её степень равна нулю.

При умножении одночленов сначала перемножают коэффициенты, затем объединяют степени одинаковых переменных. Например, x² · x³ = x⁵, поскольку при раскрытии степеней перемножаются пять одинаковых множителей x. Переменные, которые встречаются только в одном множителе, просто переносят в результат. Поэтому для умножения достаточно отдельно следить за числами и за каждой буквой.

Основные характеристики одночлена

Сначала проверь, является ли выражение произведением допустимого вида, а затем найди его стандартную запись. По ней удобно определить коэффициент и сложить показатели переменных для нахождения степени. Таблица помогает не смешивать эти характеристики: у каждой свой способ определения.

Разбор задач

Задача. Определите, какие из выражений 5x²y, 3x + 2 и 4/x являются одночленами. Проверим каждое выражение отдельно, обращая внимание на знаки действий и показатели переменных. Для одночлена требуется произведение чисел и переменных с целыми неотрицательными показателями.

1. В выражении 5x²y число 5, x² и y перемножаются. Показатели переменных равны 2 и 1, поэтому выражение подходит под определение.
2. Выражение 3x + 2 содержит два слагаемых, соединённых знаком сложения. Следовательно, это не одно произведение.
3. В дроби 4/x переменная находится в знаменателе. Запись равносильна 4x⁻¹, где показатель −1 не является неотрицательным.

Ответ: одночленом является только 5x²y. Проверка основана не на количестве букв или чисел, а на виде выражения и показателях переменных. Сумма и переменная в знаменателе условиям не соответствуют.

Задача. Приведите одночлен −3a · 2a²b к стандартному виду и укажите его коэффициент и степень. Нужно отдельно обработать числа и одинаковые переменные, а затем прочитать характеристики результата. Такой порядок помогает не смешать вычисления коэффициента с определением степени.

1. Перемножаем числовые множители: −3 · 2 = −6. Это будет коэффициент стандартного вида.
2. Объединяем переменные a и a²: складываем показатели 1 + 2 = 3, получаем a³. Переменная b встречается один раз и остаётся b.
3. Записываем результат −6a³b. Для степени складываем показатели переменных: 3 + 1 = 4.

Ответ: стандартный вид — −6a³b, коэффициент — −6, степень — 4. Коэффициент можно прочитать как числовую часть записи. При вычислении степени число −6 не учитывается.

Задача. Вычислите произведение (−2x²y³) · (3xy²) и найдите степень полученного одночлена. Сначала определим, что происходит с числами, затем отдельно проследим за каждой переменной. Такой разбор не позволяет случайно сложить показатели x с показателями y.

1. Перемножаем коэффициенты: −2 · 3 = −6. Отрицательный знак сохраняется, потому что множители имеют разные знаки.
2. Для переменной x складываем показатели: 2 + 1 = 3, для y — тоже складываем: 3 + 2 = 5. Получаем буквенную часть x³y⁵.
3. Записываем произведение в стандартном виде: −6x³y⁵. Степень результата равна сумме показателей 3 + 5 = 8.

Ответ: произведение равно −6x³y⁵, его степень равна 8. Показатели складываются только у одинаковых переменных, а показатели x и y остаются при своих буквах. Коэффициент −6 в степень одночлена не входит.

Типичные ошибки

Считать суммой одночленов выражение с несколькими слагаемыми. Ошибка появляется, когда любое выражение с числами и буквами принимают за одночлен. Но одночлен — произведение, поэтому в x + 2 стоит проверить знак между частями: здесь сложение, а не умножение. Если есть несколько слагаемых, всё выражение не является одним одночленом.

Называть одночленом выражение с переменной в знаменателе. Дробь 1/x может казаться обычным произведением числа и буквы, однако она равна x⁻¹. Отрицательный показатель не разрешён в определении одночлена. Для проверки перепиши знаменательную переменную как степень: если показатель отрицателен, выражение не подходит.

Складывать показатели разных переменных или умножать показатели одинаковых. Так бывает, если забыть, что складывать можно только степени с одинаковым основанием. Например, a² · a³ = a⁵, но a²b³ нельзя заменить одной степенью по правилу умножения. Проверяй букву при каждом показателе и применяй правило отдельно к каждой переменной.

Учитывать коэффициент при определении степени или брать только наибольший показатель. Например, у 4a²b³ степень не равна 3: нужно сложить показатели 2 и 3. Число 4 не добавляют, потому что это коэффициент, а не переменная. Самопроверка: выпиши показатели всех букв и сложи их, не глядя на числовой множитель.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужно знать, что такое переменная, степени с натуральными показателями и произведение степеней с одинаковым основанием. Эти знания объясняют, почему при умножении показатели одинаковых букв складывают. Приведение к стандартному виду понадобится при сложении и вычитании подобных одночленов: прежде чем сравнивать их, удобно видеть одинаковую буквенную часть. Умножение одночленов используют при преобразовании алгебраических выражений и при изучении многочленов, которые состоят из одночленов.

Что запомнить

• Одночлен — произведение чисел и переменных с целыми неотрицательными показателями.
• Сумма нескольких слагаемых не является одночленом.
• В стандартном виде числовой множитель записывают перед переменными.
• Коэффициент одночлена — его числовой множитель.
• Степень одночлена равна сумме показателей степеней переменных.
• При умножении одночленов коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают.