§ 8 Одночлены

Определения и обозначения

Одночлен — выражение, которое представляет собой произведение числового множителя и степеней переменных с натуральными показателями. Например, 3x²y — одночлен: его множители — число 3, переменная x² и переменная y. Определение помогает отличить одно произведение от выражений, составленных сложением или вычитанием.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой множитель стоит первым, а одинаковые переменные объединены в степени. Например, 2·x·y·x можно записать как 2x²y. Такой вид нужен, чтобы выражение было удобнее читать, сравнивать и использовать в дальнейших вычислениях.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель вместе со знаком. В одночлене −4a²b коэффициент равен −4, а буквенная часть — a²b. Это понятие позволяет отдельно работать с числовой и буквенной частями при умножении и других преобразованиях.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных, которые в него входят. Например, степень одночлена 5x²y³ равна 2 + 3 = 5. Она показывает общее количество переменных-множителей, если раскрыть степени, и помогает сравнивать одночлены по их буквенной части.

Как это устроено

Произведение чисел и переменных остаётся одним выражением, поэтому подходит под определение одночлена. Например, 3·x²·y — единый набор множителей. В выражении 3x² + y уже есть сложение двух частей, а в 3x² − y — вычитание, поэтому это не одно произведение и не одночлен. Наличие одночленов внутри суммы не превращает всю сумму в одночлен.

Чтобы получить стандартный вид, можно переставить множители: от этого произведение не изменится благодаря переместительному свойству умножения. Затем одинаковые переменные объединяют по правилу xᵃ·xᵇ = xᵃ⁺ᵇ, потому что при умножении записываются вместе все множители с основанием x. Например, 2y·x·3x² = 6x³y: числа 2 и 3 перемножили, а показатели у x сложили.

Если числовой множитель явно не написан, это не означает, что его нет: у каждой переменной перед записью подразумевается множитель 1. Поэтому x = 1·x, и коэффициент равен 1; аналогично −x = (−1)·x, коэффициент равен −1. Знак тоже относится к коэффициенту, так как минус можно понимать как умножение на −1. Это соглашение помогает не терять знак в вычислениях.

Степень находят сложением показателей всех переменных, потому что каждая переменная в раскрытой записи повторяется столько раз, сколько показывает её показатель. Например, в a²b³ всего два множителя a и три множителя b, то есть пять буквенных множителей. Поэтому степень равна 2 + 3, а не наибольшему показателю и не произведению показателей. Переменная без явно записанной степени имеет показатель 1.

Число без переменных тоже является одночленом: это постоянный одночлен, и его степень принимают равной 0. Нулевой одночлен — выражение 0; его значение равно нулю при любых значениях переменных, поэтому его выделяют отдельно и степень ему не приписывают. У ненулевого постоянного одночлена коэффициентом служит само число, например у −7 коэффициент −7. С нулём обычные правила о степени одночлена применяют с оговоркой: степень нулевого одночлена не определена.

Основные характеристики одночлена

Сначала найдите подходящую строку по записи одночлена, затем примените указанное правило. Примеры в последнем столбце показывают, где искать коэффициент и как складывать показатели. Для нулевого одночлена используйте отдельную строку, а не правило для ненулевых постоянных.

Разбор задач

1. Распознаём и приводим к стандартному виду

Определим, какие выражения являются одночленами, и упростим те, которые состоят из произведения. Важно проверить не только наличие переменных, но и то, как части соединены между собой. Нулевая степень переменной означает, что эта переменная не влияет на произведение.

1. 3x²y уже является одночленом в стандартном виде.
2. 4a + 2b содержит сумму, поэтому одночленом не является.
3. −5x·2x³ = (−5·2)·(x·x³) = −10x⁴.
4. 7m²n⁰ = 7m²·1 = 7m², поскольку n⁰ = 1.

Ответ: одночлены — 3x²y, −10x⁴ и 7m²; выражение 4a + 2b не является одночленом. Числовые множители перемножили, а одинаковые переменные объединили по правилу степеней. В записи 7m² коэффициент равен 7.

2. Коэффициент, степень и значение

Рассмотрим одночлен −6a³b²c. Коэффициент можно прочитать сразу, а степень найти по всем буквенным показателям. Для вычисления значения нужно подставить числа вместо переменных и соблюдать порядок действий.

1. Коэффициент равен −6.
2. Степень равна 3 + 2 + 1 = 6; у c показатель 1, хотя он не написан.
3. Подставим значения: −6·1³·(−1)²·2 = −6·1·1·2 = −12.

Ответ: коэффициент −6, степень 6, значение при заданных переменных равно −12. Квадрат числа −1 равен 1, поэтому знак результата определяется отрицательным коэффициентом. Такая проверка помогает не перепутать знак при подстановке.

3. Умножение одночлена на степень одночлена

Упростим (−2x²y³)·(3xy²)². Сначала возведём во вторую степень каждый множитель второго одночлена: это действие относится и к коэффициенту, и к переменным. Затем перемножим одночлены и соберём одинаковые переменные.

1. (3xy²)² = 3²·x²·y⁴ = 9x²y⁴.
2. (−2x²y³)·9x²y⁴ = (−2·9)·x²⁺²·y³⁺⁴.
3. Запишем результат в стандартном виде: −18x⁴y⁷.

Ответ: −18x⁴y⁷. Коэффициент второго одночлена при возведении в квадрат стал положительным, а отрицательный знак первого сохранился. Показатели одинаковых переменных сложили, поскольку при умножении степени с одним основанием соединяются их множители.

Типичные ошибки

• Сумму или разность принимают за одночлен, если каждое слагаемое отдельно выглядит как одночлен. Ошибка возникает из-за того, что внимание обращают на части, а не на всё выражение. Проверьте, соединены ли множители только умножением: знак + или − между частями означает, что перед вами не одночлен.

• При поиске коэффициента забывают знак или считают, что у x коэффициент равен 0. Обычно так происходит, когда подразумеваемый множитель не записан. Восстановите его: x = 1·x, −x = (−1)·x, а затем проверьте, что коэффициент вместе с буквенной частью даёт исходную запись.

• При умножении степеней одинаковых переменных показатели перемножают вместо сложения. Это путают с возведением степени в степень, где показатели действительно перемножаются. Для проверки раскройте степени: x²·x³ содержит пять множителей x, значит результат x⁵.

• Степенью одночлена называют самый большой показатель среди переменных. Так ошибаются, если рассматривают показатели по отдельности, не учитывая все буквенные множители. Сложите их: например, для a²b⁴ степень равна 2 + 4 = 6, а не 4.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужно уверенно выполнять действия с целыми и дробными числами, пользоваться переместительным и сочетательным свойствами умножения и понимать степени с натуральным показателем. Также понадобятся буквенные выражения: переменная обозначает число, которое может меняться, а запись задаёт правило вычисления. Позже одночлены станут частями многочленов; правила их преобразования будут нужны при умножении многочленов, упрощении выражений и решении уравнений. Поэтому умение находить коэффициент и степень помогает готовиться к следующим темам.

Что запомнить

• Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней.
• Сумма или разность одночленов одночленом не является.
• В стандартном виде сначала записывают коэффициент, затем степени переменных.
• Коэффициент может быть положительным, отрицательным, равным 1 или −1.
• Степень одночлена равна сумме показателей степеней всех переменных.
• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
• Постоянный одночлен имеет степень 0; нулевой одночлен рассматривают отдельно.