§ 8. Одночлены

Определения и обозначения

Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней с неотрицательными целыми показателями. Например, 5x²y и −3ab — одночлены. Выражения x + y и 2a − b одночленами не являются: между их частями стоит сложение или вычитание, а не умножение.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В записи 7x² коэффициент равен 7, а в −ab — −1. Если число перед переменной не написано, подразумевается множитель 1: поэтому коэффициент одночлена x равен 1.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовые множители уже перемножены, а одинаковые переменные собраны в степени. Например, 2a · 3a²b записывают как 6a³b. Такая запись помогает сразу увидеть коэффициент и показатели степеней.

Степень одночлена стандартного вида — сумма показателей степеней всех переменных. У 4x²y³ степень равна 2 + 3 = 5. У ненулевой константы, например 8, степень равна 0: переменных в ней нет, и складывать нечего.

Как это устроено

Чтобы привести произведение к стандартному виду, сначала отдельно собирают числа, а затем одинаковые буквы. Числа перемножают, потому что все они являются множителями исходного выражения. Например, в 3a · 2a²b числовая часть даёт 6, а произведение a · a² превращается в a³; буква b остаётся без изменений. В результате получается 6a³b.

При умножении одночленов коэффициенты перемножают, так как в исходном выражении они тоже стоят как множители. Для переменных используют свойство степеней с одинаковым основанием: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Оно работает потому, что обе степени можно раскрыть как повторяющиеся множители одной и той же буквы. Так, x² · x³ = x · x · x · x · x = x⁵.

Степень произведения одночленов равна сумме степеней множителей. В самом произведении собираются все переменные из каждого множителя, поэтому при подсчёте показателей складываются показатели соответствующих букв. Например, у x²y и xy³ степени равны 3 и 4, а у произведения x³y⁴ степень равна 7. Это совпадает с суммой 3 + 4.

При нескольких переменных действуют те же правила отдельно для каждой буквы. В произведении (2x²y) · (3xy³) коэффициенты 2 и 3 перемножают, для x складывают показатели 2 и 1, а для y — 1 и 3. Если буква есть только в одном множителе, второй множитель можно считать содержащим её в нулевой степени, поэтому показатель не меняется. Например, (2x²y) · (3z) = 6x²yz.

Нулевой одночлен записывают просто как 0. При умножении на ноль любое произведение обращается в ноль, поэтому у него нельзя выделить обычный ненулевой коэффициент и определить степень по показателям переменных. По этой причине степень нулевого одночлена обычно не определяют. Не следует путать его с ненулевой константой: у числа 5 степень равна нулю.

Одночлен: стандартный вид и умножение

Таблица помогает выполнять преобразование по частям: сначала проверь коэффициенты, затем каждую переменную, а в конце найди степень. Не складывай показатели у разных переменных, например у x и y: правило относится только к одинаковым основаниям. Если в выражении есть ноль, отдельно учти, что получается нулевой одночлен.

Разбор задач

Задача 1. Приведите одночлен 3a · 2a²b к стандартному виду и укажите его коэффициент и степень. Сначала нужно разделить числовые множители и переменные, чтобы не смешать правила действий. Затем объединим одинаковые буквы и прочитаем характеристики полученного одночлена.

1. Перемножаем числовые множители: 3 · 2 = 6. Это будет коэффициент результата.
2. Для буквы a складываем показатели: у первой a показатель 1, у второй a² — показатель 2, поэтому a · a² = a³. Буква b встречается один раз и остаётся b.
3. Записываем произведение в стандартном виде: 6a³b. Степень равна сумме показателей: 3 + 1 = 4.

Ответ: 6a³b; коэффициент 6, степень 4. Проверка: в произведении было три множителя a и один множитель b, значит всего четыре переменных множителя. Это согласуется с найденной степенью.

Задача 2. Выполните умножение (−2x²y) · (3xy³). Знаки и числа удобно обработать отдельно от переменных: так меньше риск сложить коэффициенты или пропустить показатель. После этого проверим, что обе буквы собраны в степени.

1. Перемножаем коэффициенты: (−2) · 3 = −6. Знак результата отрицательный, потому что один множитель отрицательный.
2. Для x складываем показатели 2 и 1, получаем x³. Для y складываем показатели 1 и 3, получаем y⁴.
3. Объединяем результат: −6x³y⁴. В стандартном виде коэффициент стоит перед переменными.

Ответ: −6x³y⁴. Быстрая проверка степени: исходные степени равны 3 и 4, их сумма равна 7; в результате 3 + 4 = 7. Значит, показатели собраны верно.

Задача 3. Найдите n, если степень одночлена 4aⁿb² равна 7, и запишите одночлен. Степень — это сумма показателей всех переменных, а коэффициент 4 в неё не входит. Поэтому можно составить уравнение, приравняв сумму показателей к заданной степени.

1. Записываем условие для степени: n + 2 = 7. Показатель буквы a равен n, показатель b равен 2.
2. Вычитаем 2 из обеих частей: n = 5. Это неотрицательное целое число, поэтому оно подходит для одночлена.
3. Подставляем найденное значение вместо n: получаем 4a⁵b². Сумма показателей 5 + 2 действительно равна 7.

Ответ: n = 5, одночлен 4a⁵b². В конце полезно проверить не только вычисление, но и исходное условие. Подстановка подтверждает, что степень полученной записи равна 7.

Типичные ошибки

Иногда показатели степеней складывают при сложении одночленов, например ошибочно превращают x² + x³ в x⁵. Складывать показатели можно при умножении степеней с одинаковым основанием, а знак плюс обозначает другое действие. Чтобы проверить себя, посмотри на знак между частями: правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ применяют при умножении.

Ещё одна ошибка — складывать коэффициенты при умножении одночленов: например, считать, что 2x · 3x = 5x². Коэффициенты являются множителями, поэтому нужно вычислить 2 · 3, а не 2 + 3. Для самопроверки временно выпиши числовую и буквенную части отдельно: 2 · 3 и x · x.

Степень одночлена иногда находят по наибольшему показателю одной переменной. Например, для x²y³ ошибочно называют степень равной 3, хотя переменные обе входят в произведение. Нужно сложить все показатели: 2 + 3 = 5. Проверь, что ни одна буква в записи не пропущена.

Некоторые считают, что степень нулевого одночлена равна нулю, по аналогии с ненулевыми константами. Но для нуля степень обычно не определяют: нельзя прочитать показатели переменных в записи 0. При проверке сначала выясни, не равен ли весь одночлен нулю; только для ненулевого одночлена считай сумму показателей.

Связь с другими темами

Чтобы умножать одночлены, пригодятся свойства степеней с одинаковыми основаниями, в частности правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Также нужно уверенно умножать целые числа и учитывать знаки. Эти знания позволяют не просто запомнить порядок действий, а понять, почему показатели складываются.

Стандартный вид помогает упрощать выражения и сравнивать одночлены. Позже это пригодится при изучении многочленов: их слагаемые часто записывают в стандартном виде, чтобы было удобнее выполнять преобразования. Умение замечать коэффициент и степень также помогает проверять вычисления и упорядочивать выражения.

Что запомнить

• В стандартном виде числовые множители объединены, а одинаковые переменные записаны степенями.
• Коэффициент — числовая часть одночлена.
• Степень ненулевого одночлена равна сумме показателей степеней всех переменных.
• При умножении одночленов коэффициенты перемножают.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• Степень произведения одночленов равна сумме степеней множителей.