"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Степень с натуральным показателем — это короткая запись произведения одинаковых множителей. Правила действий со степенями помогают быстро умножать и делить такие выражения, а также возводить в степень степень, произведение или частное. Главное — различать основание и показатель, проверять одинаковость оснований и не забывать об ограничениях при делении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей. Запись an означает, что число a умножают само на себя n раз: an = a · a · ... · a. Такая запись заменяет длинное произведение коротким выражением.
Основание степени — число a, которое возводят в степень. Например, в записи 53 основанием является число 5. По основанию можно понять, какой множитель повторяется.
Показатель степени — натуральное число n, показывающее, сколько раз основание входит в произведение. В записи 53 показатель равен 3, значит, множитель 5 взят три раза. Показатель помогает определить, сколько одинаковых множителей нужно записать.
При умножении степеней с одинаковым основанием произведения можно раскрыть и записать подряд: am · an = (a · ... · a) · (a · ... · a). Все множители одинаковы, а их общее количество равно m + n. Поэтому am · an = am+n: показатели складываются, а основание остаётся прежним.
При делении степеней с одинаковым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Если в числителе их m, а в знаменателе n и m ≥ n, останется m − n множителей: am : an = am−n. Правило применяют при a ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя.
Возведение степени в степень означает, что произведение повторяется несколько раз: (am)n = am · am · ... · am. Каждая из n групп содержит m множителей, поэтому всего получается m · n множителей a. Отсюда (am)n = amn.
При возведении произведения в степень повторяется всё произведение, а не один выбранный множитель. В выражении (ab)n каждый из множителей a и b встречается n раз. Поэтому (ab)n = anbn, то есть степень распределяется по всем множителям произведения.
Правило степени частного получается так же: числитель и знаменатель частного повторяются одинаковое число раз. Затем числители перемножаются между собой, а знаменатели — между собой: (a:b)n = an:bn. Здесь b ≠ 0, поскольку исходный знаменатель не может быть нулевым.
В таблице собраны формулы, которые нужно выбирать по виду выражения. Сначала найдите действие и проверьте, совпадают ли основания или есть ли произведение и частное в скобках. Условия особенно важны для деления: они не дают выполнить недопустимое преобразование.
| Действие | Правило | Условия |
|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковым основанием | am · an = am+n | Одинаковое основание |
| Деление степеней с одинаковым основанием | am : an = am−n | a ≠ 0, m ≥ n |
| Возведение степени в степень | (am)n = amn | m и n — натуральные числа |
| Возведение произведения в степень | (ab)n = anbn | Каждый множитель возводится в степень |
| Возведение частного в степень | (a:b)n = an:bn | b ≠ 0 |
Упростите 34 · 32. Основания обеих степеней одинаковы, поэтому можно применить правило умножения. Нужно сложить показатели, а не перемножить их.
Ответ: 36.
Упростите (−2)3 · (−2)2 : (−2)4. Во всех степенях основание одно и то же — −2, поэтому сначала объединяем множители при умножении, а затем выполняем деление. Основание не равно нулю, значит, правило деления применимо.
Ответ: −2. Знак основания сохраняется в записи степени, а затем учитывается при вычислении.
Упростите выражение (2a3b)2 : (4a2b), если a ≠ 0 и b ≠ 0. Сначала раскрываем степень произведения, затем сокращаем числовые коэффициенты и одинаковые степени букв. Условие гарантирует, что деление на выражение 4a2b допустимо.
Ответ: a4b.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели: a2 · a3 = a6. Так происходит из-за смешения этого правила с возведением степени в степень. Проверьте вид действия: при умножении показатели складываются, поэтому правильный результат — a5.
При возведении степени в степень показатели иногда складывают: (a2)3 = a5. Ошибка появляется, когда забывают, что целая группа из двух множителей повторяется три раза. Перемножьте показатели 2 · 3 и получите a6.
Возводя произведение в степень, можно ошибочно возвести только первый множитель: (ab)2 = a2b. Причина в том, что взгляд сосредотачивается на первом символе в скобках. Проверьте все множители внутри скобок: каждый должен получить показатель 2, поэтому результат — a2b2.
Правило деления применяют, не проверяя знаменатель, или пытаются делить на ноль. Это недопустимо: исходный знаменатель и общее основание должны позволять деление. Перед сокращением убедитесь, что основание не равно нулю, а условие для показателей выполнено.
До изучения действий со степенями нужно понимать смысл степени с натуральным показателем. Также понадобятся обычные правила умножения и деления чисел, включая работу со знаками.
Эти формулы используются при преобразовании одночленов и многочленов. Они помогают сокращать выражения, приводить их к удобному виду и решать уравнения.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются?
При умножении степени раскрываются в произведения одинаковых множителей. Их общее количество равно сумме количеств в каждой степени, поэтому показатели складываются.
Чем отличается умножение степеней от возведения степени в степень?
При умножении степеней одно и то же основание встречается в двух произведениях, поэтому показатели складываются. При возведении степени в степень целая группа множителей повторяется несколько раз, поэтому показатели перемножаются.
Можно ли складывать показатели при умножении степеней с разными основаниями?
Нет, такое правило применяют только при одинаковых основаниях. Например, a² · b³ нельзя заменить на ab⁵ без дополнительных условий.
Почему при делении степеней нужно проверять, что основание не равно нулю?
Деление на ноль не имеет смысла, поэтому знаменатель степени не должен быть равен нулю. Если основание общее и не равно нулю, одинаковые множители можно сократить.
Как возвести в степень произведение или частное?
При возведении произведения в степень в неё возводят каждый множитель: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Для частного действует похожее правило: (a:b)ⁿ = aⁿ:bⁿ, если b ≠ 0.
§ 7. Действия со степенями
