"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Степень записывает произведение одинаковых множителей короче: например, 2⁴ означает 2 · 2 · 2 · 2. Свойства степени помогают быстро умножать и делить такие выражения, а также возводить в степень произведения и частные. Главное — понимать, какое основание повторяется, и проверять условия применения правила. Тогда вместо длинного вычисления можно преобразовать выражение и получить более простую запись.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенью с натуральным показателем называют произведение нескольких одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a повторяется n раз. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись короче длинного произведения и помогает быстрее выполнять вычисления.
Число a в записи aⁿ называют основанием степени. Это число, которое умножают само на себя; в записи 5⁴ основание равно 5. Основание показывает, какой множитель повторяется, поэтому его нужно отличать от показателя.
Число n называют показателем степени: оно указывает, сколько одинаковых множителей стоит в произведении. Например, в 7³ три множителя 7, а не 7 умножается на число 3. Показатель помогает увидеть длину произведения и определить, сколько множителей объединяется при преобразованиях.
Степень с показателем 1 равна своему основанию: a¹ = a, потому что произведение состоит из одного множителя. Если основание равно нулю, то 0ⁿ = 0 при натуральном n: каждый множитель в произведении равен нулю. Однако делить на ноль нельзя, поэтому правила деления степеней требуют ненулевого основания.
При умножении степеней с одинаковым основанием множители из обеих записей можно выписать подряд. Например, a³ · a² = (a · a · a) · (a · a), а всего получилось пять множителей a. Поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: показатели складываются, потому что они считают общее количество одинаковых множителей.
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Например, a⁵ : a² = (a · a · a · a · a) : (a · a), и после сокращения остаются три множителя a. Значит, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; основание должно быть ненулевым, иначе деление невозможно.
Чтобы возвести степень в степень, нужно повторить её произведение столько раз, сколько показывает внешний показатель. Например, (a²)³ = (a · a) · (a · a) · (a · a), то есть всего шесть множителей a. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ: число групп умножается на число множителей в каждой группе.
Произведение в скобках при возведении в степень повторяется целиком. Так, (ab)³ = (ab)(ab)(ab), и после перестановки множителей получаем a³b³; значит, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Аналогично (a : b)³ = (a : b)(a : b)(a : b) = a³ : b³, поэтому (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, если b ≠ 0.
Правила важно не путать: показатели складывают или вычитают только у степеней с одинаковыми основаниями. При возведении степени в степень показатели перемножают, а при возведении произведения каждый множитель получает собственную степень. Проверяй также ограничения: при делении знаменатель не должен быть равен нулю.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Одинаковое основание; показатели натуральные |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0; показатели натуральные |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Показатели натуральные |
| Возведение произведения в степень | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | Показатель натуральный |
| Возведение частного в степень | (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ | b ≠ 0; показатель натуральный |
Сначала найди в выражении степени, к которым подходит одно из свойств, и сверь их основания. Затем проверь, нет ли деления на ноль, и только после этого преобразуй запись. Если основания разные, показатели нельзя объединять по правилу умножения или деления степеней.
Задача 1. Упростить выражение 3⁴ · 3². Основания у степеней совпадают, поэтому можно объединить все множители тройки. Нужно сложить показатели, а не сами основания.
Ответ: 3⁶, или 729. Важно заметить, что число 3 осталось основанием, а объединились только показатели.
Задача 2. Упростить (x³)⁴ · x² : x⁵ при x ≠ 0. Здесь сначала раскрывают возведение степени в степень, а затем объединяют степени с основанием x. Условие x ≠ 0 позволяет выполнить деление.
Ответ: x⁹. Порядок действий помогает не смешать умножение показателей при возведении степени в степень со сложением и вычитанием при умножении и делении.
Задача 3. Представить (2a)³ · a⁴ : (2a²)² в виде одночлена при a ≠ 0. Сначала раскроем степени произведений, чтобы отдельно увидеть степени чисел и букв. Затем сократим общие множители и упростим буквенную часть.
Ответ: 2a³. Деление допустимо, потому что a ≠ 0; при таком условии знаменатель 4a⁴ не равен нулю.
Ошибка — складывать показатели у степеней с разными основаниями, например считать 2² · 3³ равным 6⁵. Так делают, перенося знакомое правило на неподходящий случай, но произведения множителей 2 и 3 не образуют одну степень с таким показателем. Проверь себя: чтобы сложить показатели, сначала убедись, что основания буквально одинаковы.
При возведении степени в степень иногда складывают показатели: (a²)³ ошибочно превращают в a⁵. Причина в том, что путают это действие с умножением двух степеней; здесь же произведение a² повторяется три раза. Раскрой скобки и посчитай множители: их будет шесть, значит, верно a⁶.
Ещё одна ошибка — возвести в степень только первый множитель: (ab)³ записать как a³b. Обычно забывают, что в скобках произведение целиком повторяется три раза. Для проверки раскрой скобки: (ab)(ab)(ab) = a³b³, поэтому степень должна появиться у каждого множителя.
Нельзя применять правило деления степеней при нулевом основании, например сокращать 0³ : 0². Ошибка возникает из-за того, что забывают проверить условие деления; здесь знаменатель равен нулю. Перед сокращением проверь основание: для деления степеней оно должно быть ненулевым.
Для работы со свойствами степени нужно знать, как записывают степень с натуральным показателем, а также уметь умножать и делить числа. При преобразованиях пригодится и порядок действий: сначала выполняют операции в скобках и возведение в степень, затем умножение и деление. Это помогает выбрать верный порядок упрощения выражения.
Свойства степени используются при преобразовании одночленов и многочленов, где приходится объединять буквенные множители. Они также облегчают вычисления с большими числами: вместо длинного повторного умножения можно применить свойства и получить компактную запись. Поэтому важно не только запомнить формулы, но и распознавать одинаковые основания.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются?
Каждая степень — это несколько одинаковых множителей. При умножении множители из обеих степеней соединяются в одну цепочку, поэтому их общее число равно сумме показателей.
Можно ли складывать показатели, если основания разные?
Нет, правило сложения показателей действует только при одинаковых основаниях. Например, 2² · 3³ нельзя заменить на 6⁵: множители в исходном выражении разные.
Почему при делении степеней показатели вычитаются?
При одинаковом ненулевом основании одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Остаётся столько множителей, сколько показывает разность показателей.
Чем возведение степени в степень отличается от умножения степеней?
При умножении степеней с одним основанием показатели складывают, потому что множители объединяются в одну цепочку. При возведении степени в степень внутреннюю степень повторяют несколько раз, поэтому показатели перемножают.
Нужно ли возводить в степень каждый множитель в скобках?
Да, при возведении произведения в степень каждый множитель возводят в эту степень. Например, (ab)³ = a³b³, а не a³b.
16. Свойства степени
