§ 2. Многочлены и действия с ними

Определения и обозначения

Одночлен — произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени, например −4a²b. Число перед буквами, здесь −4, называют коэффициентом, а степень одночлена находят сложением показателей степеней переменных: у a²b она равна 2 + 1 = 3. Это помогает распознавать составные части выражений и выполнять с ними действия.

Многочлен — сумма одночленов, например 2x² − 3x + 1. Знаки вычитания можно понимать как сложение слагаемого с отрицательным коэффициентом: здесь слагаемыми будут 2x², −3x и 1. Один одночлен и даже одно число тоже можно рассматривать как многочлены, поэтому правила для многочленов охватывают и простые выражения.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, то есть с теми же переменными в тех же степенях. Например, 3x и −2x подобны, а 3x и 3x² — нет. Подобные слагаемые можно объединить: складывают их коэффициенты и оставляют буквенную часть, например 3x − 2x = x. Так запись становится короче и удобнее для вычислений.

Степень многочлена — наибольшая степень входящих в него одночленов после приведения подобных слагаемых. Например, у 2x² + 3x − 1 степень равна 2, потому что наибольшая степень одночленов — у 2x². Сначала нужно привести выражение к стандартному виду: слагаемые старшей степени могут сократиться, и тогда степень результата изменится.

Как это устроено

Чтобы получить стандартный вид многочлена, сначала раскрывают скобки, а затем находят и объединяют подобные слагаемые. Скобки раскрывают по распределительному свойству: множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри. Такой порядок нужен, чтобы увидеть полную запись выражения: пока скобки не раскрыты, одинаковые слагаемые могут быть скрыты в разных частях. После приведения подобных многочлен записывают без лишних скобок и повторяющихся буквенных частей.

При сложении многочленов складывают коэффициенты только у подобных одночленов. Например, 3x + 5x = 8x: переменная и её степень в обоих слагаемых одинаковы, поэтому складываются только числовые множители. Буквенную часть сохраняют, ведь x + x — это две одинаковые части, а не новая переменная. Слагаемые с разными буквенными частями оставляют отдельно: из 2x + 3y нельзя получить 5xy или 5x.

Вычитание многочлена заменяют сложением противоположного многочлена. Противоположный многочлен получается, если у каждого слагаемого изменить знак: это следует из распределительного свойства, ведь минус перед скобками означает умножение всего содержимого на −1. Поэтому в выражении (a + b) − (c − d) после раскрытия скобок получаем a + b − c + d. Если изменить знак только у первого слагаемого, остальные части вычитаемого прибавятся неправильно.

При умножении многочленов каждый одночлен первого множителя нужно умножить на каждый одночлен второго. Это правило следует из распределительного свойства: например, (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Если пропустить хотя бы одну пару, часть произведения потеряется. После перемножения всех пар раскрывают скобки, если они есть, и приводят подобные слагаемые.

При умножении одночленов коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают: x² · x³ = x⁵, потому что перемножаются пять множителей x. Поэтому степень произведения одночленов равна сумме их степеней. Для многочлена степень находят после приведения к стандартному виду: слагаемые наибольшей степени могут уничтожить друг друга, и тогда наибольшей окажется другая степень. Например, в x² − x² + 3x после сокращения остаётся 3x, и степень результата равна 1.

Действия с многочленами

Пользуйся таблицей как порядком действий: сначала выполни нужное преобразование, затем проверь, не осталось ли подобных слагаемых. При умножении отдельно проследи, чтобы ни одна пара слагаемых не была пропущена. Степень определяй в самом конце, когда выражение уже приведено к стандартному виду.

Разбор задач

Приведите подобные слагаемые в выражении 3x + 5 − 2x + 7.

В этой записи есть слагаемые с x и числа без переменной. Сначала сгруппируем однотипные части, чтобы не складывать слагаемые с разной буквенной частью. Затем упростим каждую группу.

1. Сгруппируем слагаемые: (3x − 2x) + (5 + 7).
2. В первой группе коэффициенты равны 3 и −2, поэтому 3x − 2x = x. Во второй группе 5 + 7 = 12.
3. Запишем результат: x + 12. Эти слагаемые не подобны, поэтому дальше объединить их нельзя.

Ответ: x + 12.

Вычислите (2a² − 3a + 1) − (a² + 4a − 5) и запишите результат в стандартном виде.

Минус перед второй скобкой относится ко всему многочлену, а не только к его первому слагаемому. Поэтому сначала изменим знаки всех слагаемых в этих скобках. После этого можно убрать скобки и собрать отдельно слагаемые с a², с a и числа.

1. Меняем знаки всех слагаемых вычитаемого: (2a² − 3a + 1) + (−a² − 4a + 5).
2. Убираем скобки: 2a² − 3a + 1 − a² − 4a + 5.
3. Объединяем подобные: (2a² − a²) + (−3a − 4a) + (1 + 5) = a² − 7a + 6.

Полученные слагаемые имеют разные буквенные части, поэтому дальнейшее упрощение невозможно. Запись расположена в стандартном виде: сначала слагаемое со второй степенью, затем с первой, затем число. Ответ: a² − 7a + 6.

Умножьте (x + 2)(x² − 3x + 1), приведите результат к стандартному виду и укажите его степень.

В первом многочлене два слагаемых, во втором три, значит, нужно получить 2 · 3 = 6 произведений. Умножим каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй, не забывая знаки. Затем соберём произведения с одинаковыми степенями x и найдём наибольшую степень в полученной записи.

1. Умножаем x на каждое слагаемое второй скобки: x · x² = x³, x · (−3x) = −3x², x · 1 = x.
2. Умножаем 2 на каждое слагаемое второй скобки: 2 · x² = 2x², 2 · (−3x) = −6x, 2 · 1 = 2.
3. Записываем все произведения: x³ − 3x² + x + 2x² − 6x + 2.
4. Приводим подобные: −3x² + 2x² = −x², а x − 6x = −5x. Получаем x³ − x² − 5x + 2.
5. Наибольшая степень оставшегося одночлена — 3, поэтому степень многочлена равна 3.

Ответ: x³ − x² − 5x + 2; степень многочлена — 3.

Типичные ошибки

При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Так происходит, когда забывают, что минус означает умножение каждого слагаемого на −1. Для проверки мысленно умножь на −1 каждую часть внутри скобок и убедись, что все знаки изменились.

Ещё одна ошибка — складывать коэффициенты слагаемых, у которых разные буквенные части. Например, 3x² и 5x нельзя объединить, потому что степени x различаются. Проверяй, совпадают ли все буквы и их показатели: если нет, слагаемые не подобны и должны остаться отдельно.

При умножении многочленов можно перемножить только первые слагаемые и забыть остальные пары. Обычно это случается, если не следить за распределительным свойством и считать скобки одним целым. Составь список произведений: при двух слагаемых и трёх слагаемых их должно быть шесть, а каждый член первого множителя должен встретиться с каждым членом второго.

Степень многочлена иногда определяют до приведения подобных слагаемых. Но старшие слагаемые могут сократиться, например x² − x² + 4x превращается в 4x, степень которого равна 1. Чтобы проверить ответ, сначала упрости выражение полностью, а уже затем найди наибольшую степень оставшихся одночленов.

Связь с другими темами

Перед действиями с многочленами нужно уметь раскрывать скобки, применять распределительное свойство умножения и приводить подобные слагаемые. Эти приёмы объясняют, почему при умножении выражений возникают отдельные произведения и как затем их упрощать. Освоив действия с многочленами, можно переходить к разложению выражений на множители и решению уравнений. В этих задачах преобразование многочлена помогает увидеть общую часть или привести уравнение к удобному виду.

Что запомнить

• Многочлен состоит из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания.
• Подобными являются слагаемые только с одинаковой буквенной частью.
• При вычитании многочлена меняют знаки всех его слагаемых.
• При умножении многочленов каждое слагаемое одного множителя умножают на каждое слагаемое другого.
• После выполнения действия приводят подобные слагаемые.
• Степень многочлена находят в стандартном виде по слагаемому наибольшей степени.