4.2.5. Умножение многочлена на многочлен

Определения и обозначения

Произведение многочленов — выражение, полученное при умножении одного многочлена на другой. Например, в записи (x + 1)(x + 2) скобки перемножаются, а всё выражение является произведением. Результат умножения тоже можно представить в виде многочлена, поэтому его удобно дальше упрощать и использовать в вычислениях.

Умножение многочлена на многочлен — действие, при котором каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго. Так учитываются все возможные сочетания слагаемых из двух скобок. Это правило позволяет раскрыть скобки, не меняя значения выражения.

Члены многочлена — одночлены, из которых он составлен. Например, в многочлене 3x − 2 членами являются 3x и −2: знак минус относится ко второму члену. Учитывать знаки важно, чтобы правильно находить каждое произведение.

Стандартный вид многочлена — запись после раскрытия скобок и приведения подобных членов. Подобными называют одночлены с одинаковой буквенной частью, например 4x и −x. Приведение помогает объединить такие слагаемые и получить более короткий ответ.

Как это устроено

Правило умножения многочленов следует из распределительного свойства умножения относительно сложения: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри неё. Например, a(b + c) = ab + ac. Если умножаются две суммы, можно сначала применить это свойство к одной скобке, а затем раскрыть вторую. Поэтому каждое слагаемое первой суммы в итоге умножается на каждое слагаемое второй.

Чтобы найти произведение, выбери член первого многочлена и умножь его на все члены второго. Затем переходи к следующему члену первого многочлена и повторяй действия, пока не будут рассмотрены все пары. Полученные произведения складывают, потому что распределительное свойство заменяет умножение сумм суммой произведений. Если один член не умножить на один из членов второй скобки, равенство нарушится.

Удобный порядок такой: сначала перемножить одночлены, затем записать все полученные слагаемые с их знаками и раскрыть скобки. При умножении коэффициентов выполняют обычное умножение, а буквенные части перемножают по правилам степеней. Например, x · x² = x³: при одинаковом основании показатели складывают. Знаки определяют отдельно: произведение двух отрицательных выражений положительно, а отрицательного и положительного — отрицательно.

После раскрытия скобок часто обнаруживаются подобные слагаемые. Они могут появиться из разных пар членов: например, при умножении (x + 2)(x + 3) возникают 3x и 2x. Эти слагаемые обозначают одинаковую величину, поэтому их можно заменить одним слагаемым 5x. Слагаемые с разными буквенными частями, например x и x², так объединять нельзя.

Проверить ответ можно повторным раскрытием скобок: разложи умножение на суммы по распределительному свойству и сравни результат. Ещё один способ — подставить одно и то же число вместо переменной в исходное выражение и в полученный многочлен. Значения должны совпасть, иначе где-то могла потеряться пара членов или знак. Такая проверка помогает заметить ошибку, хотя сама по себе не заменяет правильного решения.

Алгоритм умножения многочленов

Двигайся по шагам сверху вниз: сначала получи все произведения, а уже потом упрощай выражение. Удобно отмечать пары членов по мере умножения, чтобы ни одну не пропустить. Перед записью ответа проверь знаки и наличие подобных слагаемых.

Разбор задач

Раскройте скобки: (x + 2)(x + 3).

1. Умножим x из первой скобки на оба члена второй: x · x = x², x · 3 = 3x. Это первая группа произведений.
2. Теперь умножим 2 на оба члена второй скобки: 2 · x = 2x, 2 · 3 = 6. Записываем все четыре слагаемых: x² + 3x + 2x + 6.
3. Слагаемые 3x и 2x подобны, поэтому складываем их коэффициенты: 3 + 2 = 5. Остальные слагаемые объединить нельзя.

Ответ: x² + 5x + 6.

Раскройте скобки и упростите: (2a − 3)(a + 4).

1. Сначала умножим 2a на каждый член второй скобки: 2a · a = 2a² и 2a · 4 = 8a. При умножении a на a получаем a².
2. Затем умножим −3 на каждый член: −3 · a = −3a, а −3 · 4 = −12. Минус входит в состав первого одночлена, поэтому оба результата этой пары отрицательны.
3. Соберём все слагаемые: 2a² + 8a − 3a − 12. Подобны только 8a и −3a, их коэффициенты складываются: 8 − 3 = 5.

Ответ: 2a² + 5a − 12.

Найдите и упростите произведение (x² − 2x + 1)(x − 3).

1. Возьмём по очереди три члена первой скобки. Умножение x² на x − 3 даёт x³ − 3x²; умножение −2x на x − 3 даёт −2x² + 6x.
2. Остался член 1. При умножении его на x − 3 получаем x − 3. Теперь сложим все три группы: x³ − 3x² − 2x² + 6x + x − 3.
3. Сгруппируем слагаемые одинакового вида: к членам с x² относятся −3x² и −2x², а к членам с x — 6x и x. После сложения коэффициентов получаем −5x² и 7x.

Ответ: x³ − 5x² + 7x − 3.

Типичные ошибки

Умножают только первые члены скобок или сопоставляют слагаемые попарно. Так теряются произведения остальных пар, потому что правило требует рассмотреть каждый член с каждым. Ошибку часто допускают, когда записывают ответ слишком быстро. Проверь число полученных произведений: если в скобках два и три члена, должно быть шесть пар.

Неверно раскрывают знак перед отрицательным членом, например считают, что −3 · 4 = 12. Минус относится к одночлену, поэтому его нельзя терять при умножении. Ошибка появляется, если отдельно умножить числа, не определив знак результата. Для проверки сначала реши, будет произведение положительным или отрицательным, и лишь затем вычисляй коэффициент.

Иногда складывают показатели степеней у разных переменных или объединяют неподобные члены. Показатели складывают при умножении степеней с одинаковым основанием, например a² · a³ = a⁵, но не при сложении одночленов. Слагаемые x и y или x и x² не являются подобными. Сверь буквенные части: складывать можно лишь коэффициенты при одинаковых буквах и степенях.

После раскрытия скобок забывают привести подобные слагаемые либо неверно складывают коэффициенты. Тогда ответ остаётся не в стандартном виде или содержит арифметическую ошибку. Чтобы этого избежать, сгруппируй слагаемые по буквенной части и отдельно выполни действия с коэффициентами. В конце проверь полученные суммы, в том числе знаки чисел.

Связь с другими темами

До умножения многочленов нужно уметь применять распределительное свойство, умножать одночлены и определять знаки произведений. Эти знания объясняют каждый шаг раскрытия скобок. Полученное умение пригодится при упрощении алгебраических выражений и преобразовании формул. Позже оно поможет применять формулы сокращённого умножения и раскладывать многочлены на множители.

Что запомнить

• Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго.
• Произведения одночленов складывают.
• При умножении учитывают знаки всех членов.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• Подобные слагаемые приводят после раскрытия скобок.
• Нельзя складывать неподобные одночлены.